عملية الإنتاج (مع الرسم البياني)

في هذه المقالة سوف نناقش حول التحليل النظري لعملية الإنتاج.

عملية الإنتاج:

شركة الأعمال هي في الأساس وحدة منتجة وهي وحدة فنية يتم فيها تحويل المدخلات إلى مخرجات للبيع للمستهلكين والشركات الأخرى والدوائر الحكومية المختلفة.

الإنتاج عبارة عن عملية يتم فيها دمج الموارد أو المدخلات الاقتصادية (تتكون من موارد طبيعية مثل الأراضي والعمالة والمعدات الرأسمالية) من قبل رواد الأعمال لإنشاء سلع وخدمات اقتصادية (يشار إليها أيضًا باسم المخرجات أو المنتجات).

المدخلات هي بداية عملية الإنتاج والإخراج هو نهاية العملية. يمثل الشكل 13.1 عرضًا تخطيطيًا بسيطًا لعملية الإنتاج ، والذي يمكن اعتباره بمثابة تحويل المدخلات إلى مخرجات.

تجدر الإشارة في البداية إلى أن العملية قد تنتج كمنتجات مشتركة كسلع وخدمات (التي يرغب المستهلكون فيها) وسلع مثل التلوث (وهو أمر غير مرغوب فيه من قبل المستهلكين).

في الاقتصاد التقليدي ، يستخدم مصطلح "الإنتاج" بمعنى واسع. يشير إلى توفير السلع والخدمات للبيع في السوق بهدف تلبية الاحتياجات والرغبات البشرية.

ومع ذلك ، في الاقتصاد الإداري ، يستخدم المصطلح بمعنى ضيق للإشارة إلى عمليات التحول المادي للموارد ، مثل تحويل خام الحديد إلى الصلب أو إنتاج المكونات وتجميعها في سيارة جاهزة.

من المؤكد أن هذا التعريف يتضمن أشكالًا أخرى ذات أهمية حيوية للتحول مثل الموقع ، حيث يتم نقل السيارة النهائية من المصنع إلى صالة عرض التاجر التي يمكن شراؤها منها. نحن هنا مهتمون بالإنتاج بالمعنى الضيق للتحول المادي ، مع الإشارة بشكل خاص إلى المشكلات الاقتصادية المرتبطة بالإنتاج في المصنع.

يمكن أن ينظر إلى نظام الإنتاج على أنه يتكون من ثلاثة عناصر - المدخلات ، وعملية الإنتاج والنواتج. في الواقع ، فإن المخرجات هي نقطة الانطلاق للعملية بقدر ما يجب مراعاتها في ضوء إمكانيات السوق.

تتخذ المدخلات شكل العمل بجميع أنواعه والمواد الخام اللازمة ومصادر الطاقة. كل هذه تنطوي على نفقات التكاليف. وبالتالي فإن نظرية التكلفة ونظرية الإنتاج مترابطة. في الواقع ، السابق مشتق من الأخير.

يمكن إظهار نظام الإنتاج على أنه تدفق مستمر وسلس للموارد خلال العملية التي تنتهي بتدفق خارجي لمنتج متجانس أو منتجين أو أكثر (بنسب ثابتة أو متغيرة).

يلعب الزمن أيضًا دورًا مهمًا في نظرية الإنتاج. نرسم عادة بين المدى القصير والمدى الطويل. لا يستند التمييز إلى أي فترة زمنية ولكن يتم على أساس إمكانية استبدال العامل.

على المدى القصير ، من المفترض أن تظل بعض العوامل (مثل حجم رأس المال أو المصنع) ثابتة وبعضها الآخر متغير. على المدى الطويل ، من المفترض أن جميع العوامل متغيرة. انطلاقًا من هذا ، فإننا نقود الافتراض بأن تكاليف المدى القصير ثابتة جزئيًا ومتغيرة جزئيًا ؛ في المدى الطويل ، جميع التكاليف متغيرة.

أخيرًا ، في الاقتصاد التقليدي ، يُفترض أن تقنيات الإنتاج "مُعطاة". ولكن في الاقتصاد الإداري ، يُفترض أن هناك عادةً العديد من البدائل المفتوحة للمدير والتي يجب اختيار أحدها.

قرار الإنتاج :

تكمن نظرية الإنتاج في قلب الاقتصاد الإداري. إنها تشكل الأساس لنظرية العرض ، والتي تعد واحدة من المفاهيم الأساسية في تحديد الأسعار. علاوة على ذلك ، تعد قرارات الإنتاج جزءًا مهمًا من عملية اتخاذ القرارات الإدارية.

يُطلب من المديرين اتخاذ أربعة قرارات إنتاج مختلفة ولكنها مترابطة:

(1) ما إذا كان سيتم إنتاجها بالفعل أم لا

(2) كم لإنتاج ؛

(3) ما مزيج الإدخال للاستخدام و

(4) ما هو نوع التكنولوجيا للاستخدام.

ببساطة ، ينطوي الإنتاج على تحويل المدخلات - مثل المعدات الرأسمالية والعمالة والأرض - إلى إنتاج السلع أو الخدمات. في عملية الإنتاج هذه ، يهتم المدير بالكفاءة - الفنية والاقتصادية - في استخدام هذه المدخلات. ويزودنا هدف الكفاءة ببعض القواعد الأساسية حول الطريقة التي يجب أن تستخدم بها الشركات المدخلات لإنتاج سلع وخدمات مرغوبة.

في الواقع ، فإن نظرية الإنتاج هي مجرد تطبيق لتقنية التحسين المقيدة. تسعى الشركة إما إلى تقليل تكلفة إنتاج مستوى معين من الإنتاج أو تعظيم الإنتاج الممكن تحقيقه بمستوى معين من التكلفة.

سيكون من الواضح أن كل من مشاكل التحسين تؤدي إلى نفس القاعدة لتخصيص المدخلات واختيار التكنولوجيا. وهذه القاعدة قابلة للتطبيق على مشاكل تخصيص الموارد المتغيرة. يجوز لنا تطبيق القاعدة في مناقشة أسواق المدخلات وطلب المدخلات من قبل شركة.

نبدأ بمناقشة عامة حول المقصود بوظيفة الإنتاج. في الواقع ، فإن المفهوم الرئيسي في نظرية الإنتاج هو وظيفة الإنتاج ، وهي علاقة تقنية تُظهر كيفية تحويل المدخلات إلى ناتج.

إنها أيضًا علاقة اقتصادية تشير إلى الحد الأقصى لمقدار الإنتاج الذي يمكن الحصول عليه من كمية ثابتة من الموارد (المدخلات). سيتم التعامل مع قضية الشركات المشتركة والمتعددة المنتجات بشكل منفصل. بادئ ذي بدء ، سننظر في الإنتاج على المدى القصير ، عندما يكون إدخال واحد فقط هو متغير.

بعد ذلك سنأخذ في الاعتبار الإنتاج والمزيج الأمثل من المدخلات عندما يمكن تنويع اثنين أو أكثر من المدخلات. سنقوم ببعض تمارين الإحصائيات المقارنة ، أي سنأخذ في الاعتبار تأثير الزيادة في جميع المدخلات على إجمالي الإنتاج وننظر في تأثير التغيرات في أسعار العوامل على نسبة العوامل أو الاستخدام النسبي للمدخلات.

وظيفة الإنتاج :

وظيفة الإنتاج هي المفهوم الرئيسي لنظرية الإنتاج لأنها هي الرابط بين استخدام المدخلات ومستوى الإنتاج الممكن بلوغه. وهو يصف رسميا العلاقة بين المعدلات المادية للإنتاج والمعدلات المادية لاستخدام المدخلات. مع وجود حالة تقنية معينة ، يعتمد مستوى الإنتاج الممكن الوصول إليه إلى حد كبير ، ولكن ليس كليًا ، على كميات المدخلات المختلفة المستخدمة في عملية الإنتاج.

عادة ما يتم تعريف وظيفة الإنتاج على أنها جدول (أو جدول ، أو معادلة رياضية) تُظهر الحد الأقصى لمقدار الإنتاج الذي يمكن إنتاجه من كمية ثابتة من الموارد ، بالنظر إلى التكنولوجيا الحالية أو فن الإنتاج. باختصار ، وظيفة الإنتاج عبارة عن كتالوج لإمكانيات إنتاج الشركة.

تستخدم المدخلات المختلفة عادة في الإنتاج. كقاعدة عامة ، يمكننا تحديد الحد الأقصى للإخراج ، Q لتكون دالة لمستوى استخدام المدخلات المختلفة ، X ، أي

Q = f (X 1 X 2 ، ... X n ).

ولكن في مناقشاتنا ، سنركز على الحالة الأكثر بساطة لمنتج واحد يتم إنتاجه إما باستخدام مدخلات واحدة (العمالة) أو مدخلات اثنين (رأس المال والعمالة). وبالتالي ، قد يتم التعبير عن وظيفة الإنتاج على النحو

س = و (ك ، ل).

ومع ذلك ، يمكن توسيع المبادئ التي سنطورها لتشمل الحالات التي تنطوي على أكثر من مدخلات.

لقد لاحظنا سابقًا أن وظيفة الإنتاج تُظهر الحد الأقصى لمقدار الإخراج الذي يمكن إنتاجه من مستويات محددة من استخدام الإدخال. على سبيل المثال ، لنفترض أن دالة الإنتاج تشير إلى أنه من خلال الجمع بين 10 وحدات من رأس المال و 40 وحدة من العمالة (مهما تم قياسها) ، يمكننا إنتاج 100 وحدة من الإنتاج لكل فترة.

ومع ذلك ، يمكن أن تنتج 10 وحدات من رأس المال و 40 وحدة من العمالة أقل من 100 وحدة من الإنتاج إذا تم استخدامها بشكل غير فعال ، ولكن لا يمكن أن تنتج أكثر من ذلك. إذا كنا نريد المزيد من الإنتاج لدينا لزيادة العمالة أو رأس المال ، أو كليهما.

أنا. العوامل الثابتة والمتغيرة :

أثناء تحليل عملية الإنتاج ، يجد الاقتصاديون أنه من المناسب تصنيف المدخلات إلى فئتين: ثابت أو متغير. المدخلات الثابتة هي التي لا يمكن تغيير مستوى استخدامها بسهولة. ومع ذلك ، في الممارسة العملية ، لا يتم تثبيت أي إدخال إلى الأبد ، بغض النظر عن الفترة الزمنية قيد النظر.

ومع ذلك ، في حين أن جميع المدخلات متغيرة في الواقع من الناحية العملية ، فإن تكلفة التباين الفوري في استخدام مدخلات معينة غالباً ما تكون كبيرة لدرجة أن مثل هذا الإدخال لا يتنوع. على سبيل المثال ، المباني والأجزاء الرئيسية من الآلات والموظفون الإداريون هي مدخلات لا يمكن تغييرها عمومًا بسرعة.

لذلك ، من غير المرجح أن يؤثر هذا الاختلاف على قرار الإنتاج على المدى القصير. المدخلات المتغيرة ، من ناحية أخرى ، هي التي يمكن زيادة مستوى استخدامها أو خفضه بسهولة وبشكل مستمر استجابة للتغيرات المرغوبة في المخرجات. يمكن وضع أنواع مختلفة من خدمات العمل وكذلك بعض المواد الخام والمعالجة في هذه الفئة.

على أساس هذا التصنيف للمدخلات ، يميز الاقتصاديون بين المدى القصير والمدى الطويل. يشير السابق إلى تلك الفترة الزمنية التي يتم فيها تحديد مستوى استخدام واحد أو أكثر من المدخلات. لذلك ، على المدى القصير ، المخرجات هي في الأساس دالة على الكم (الاستخدام) للعوامل المتغيرة ، أي يجب إجراء التغييرات في المخرجات بشكل حصري من خلال التغييرات في استخدام المدخلات المتغيرة.

وبالتالي ، يمكن إنتاج المزيد من الإنتاج في المدى القصير باستخدام مزيد من ساعات العمل (خدمة متغيرة) وغيرها من المدخلات المتغيرة ، مع المصنع والمعدات الموجودة (أو مخزون رأس المال). بطريقة مماثلة ، إذا كان المنتجون يرغبون في خفض الإنتاج على المدى القصير ، فقد يقللون من كمية (استخدام) المدخلات المتغيرة فقط.

لا يمكن تفريغ مبنى أو فرن صخري (على الرغم من أن استخدامه قد ينخفض ​​إلى الصفر). في أي مناقشة لوظيفة الإنتاج على المدى القصير ، يعتبر رأس المال هو المدخلات الثابتة. لذلك الإخراج هو وظيفة العمل وحده.

يمكن التعبير عن وظيفة الإنتاج المبسطة هذه على النحو التالي:

س = ƒ (K̅ ، L) ، (1)

حيث الشريط فوق رأس المال يعني أنه ثابت.

بدلاً من ذلك ، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

س = ƒ (L) (1).

على النقيض من ذلك ، يشير المدى الطويل إلى الفترة الزمنية (أو أفق التخطيط) التي تكون فيها جميع المدخلات قادرة على التغيير المستمر. وبعبارة أخرى ، يشير المدى الطويل إلى ذلك الوقت في المستقبل عندما يمكن إجراء تغييرات في المخرجات بأكثر الطرق فعالية من حيث التكلفة.

على سبيل المثال ، على المدى القصير ، قد يكون المنتج قادرًا على توسيع الإنتاج عن طريق تشغيل المصنع الحالي بشكل أكثر كثافة. على المدى الطويل ، قد يكون إنشاء طاقة إضافية أكثر اقتصادا ، أي تسهيلات إنتاجية لإنتاج أي إنتاج إضافي قد يكون مطلوبًا لتلبية الطلب.

ثانيا. حالة التكنولوجيا أو المعرفة العلمية التطبيقية :

من وجهة النظر التكنولوجية ، فإن وظيفة الإنتاج هي صورة ثابتة لعملية الإنتاج في نقطة زمنية محددة. هذا ، لأنه يعتمد على التكنولوجيا أو فن الإنتاج دون تغيير.

لذلك ، إذا كانت إحدى الشركات ، على سبيل المثال ، تستخدم الشركة المصنعة للكمبيوتر أحدث التقنيات ، وإذا تم تعديل هذه التقنية ، من الترانزستورات إلى شرائح السيليكون ، فيجب أن تتغير عملية الإنتاج ووظيفة الإنتاج وفقًا لذلك.

هذا لأنه في عالم تنافسي سيضطر مدراء الإنتاج إلى استخدام التكنولوجيا الأكثر فعالية من حيث التكلفة. وفي هذا السياق ، قد يميز المرء بين الكفاءة والفعالية. في حين أن الفعالية تعني القيام بالأشياء الصحيحة ، تشير الكفاءة إلى فعل الأشياء بشكل صحيح.

وبالتالي ، نلاحظ أن عملية الإنتاج محددة زمنيا. يتم التعبير عن كل من المدخلات والمخرجات كتدفقات لكل فترة زمنية. على سبيل المثال ، فإن إنتاج كمبيوتر واحد كل ساعتين يعادل اقتراح إنتاج بمعدل نصف كمبيوتر في الساعة. نظرًا لأن الناتج يتم قياسه لكل وحدة زمنية ، يجب أيضًا قياس المدخلات من حيث الخدمات المقدمة لكل فترة زمنية.

على سبيل المثال ، قد تعني ست ساعات من مدخلات العمل وست ساعات من استخدام الماكينة ستة عمال يستخدم كل منهم جهازًا واحدًا لمدة ساعة واحدة (العملية A) ، أو عامل واحد يستخدم جهازًا واحدًا لمدة ست ساعات (العملية B). المدخلات هي نفسها في كل حالة ، ولكن بالنسبة لمدير الإنتاج ، يحدث فرق كبير سواء تم اختيار العملية A أو B واستخدامها.

ثالثا. وظيفة الإنتاج على المدى القصير مع إدخال متغير واحد :

تم تقديم أبسط أشكال دالة الإنتاج على المدى القصير في المعادلة (1) أو (1) 'وتحتوي على إدخال متغير واحد. قد ننتقل الآن خطوة للأمام.

دعونا نفترض أننا قمنا بجمع المعلومات اللازمة حول العلاقة بين عدد أجهزة الراديو المنتجة شهريًا والعمالة (L) المستخدمة على أساس شهري كما هو موضح في الجدول 13.1.

تم الحصول على المعلومات الواردة في الجدول 13.1 على أساس وظيفة الإنتاج التالية لأجهزة الراديو:

س = 10L + 7.5L2 - L3 (2)

هنا تكون وظيفة الإنتاج الراديوي كما هو موضح في الشكل 13.2 على شكل 5. وظيفة الإنتاج هي وظيفة إنتاج قصيرة الأجل لأنها توضح ما يحدث للإنتاج حيث يتم إضافة المزيد والمزيد من وحدات المدخلات المتغيرة ، العمالة ، إلى المخزون الثابت لرأس المال.

وهكذا الشكل 13.2 هو تمثيل رسومي للمعادلة (2) التي هي وظيفة الإنتاج على المدى القصير لأجهزة الراديو. يوضح الجدول 13.1 والشكل 13.2 أنه في المرحلة المبكرة من عملية الإنتاج ، يزداد الإنتاج بمعدل متزايد مع إضافة وحدات العمل القليلة الأولى ؛ في المرحلة الثانية تستمر في الزيادة ولكن بمعدل تناقص مع زيادة عدد العاملين.

في الشكل 13.2 ، يصل الإنتاج إلى 114 لاسلكيًا كحد أقصى تقريبًا عندما يتم الجمع بين ست وحدات عمل والكمية الثابتة من رأس المال.

من منحنى المنتج الإجمالي ، يمكننا اشتقاق متوسط ​​منحنى المنتج الفعلي أو متوسط ​​المنتج (AP) ومنحنى المنتج الفعلي الهامشي أو منحنى المنتج الهامشي (MP). في المثال أعلاه ، يشير كل من المنتج المتوسط ​​ومفهوم المنتج الهامشي إلى العمل (L) ، وهو عامل الإنتاج الوحيد المتغير.

هنا يجب أن نسمي الناتج الإجمالي بالاسم إجمالي المنتج أو إجمالي المنتج الفعلي. بطريقة مماثلة ، يتم استخدام مصطلحات المدخلات أو المورد الاقتصادي أو عامل الإنتاج الذي يمثله L أو K للدلالة على الموارد المستخدمة في عملية الإنتاج.

من منحنى المنتج الإجمالي ، نشتق منحنى المنتج الفعلي المتوسط ​​أو متوسط ​​المنتج (AP) ومنحنى المنتج الفعلي الهامشي أو منحنى المنتج الهامشي (MP). في المثال الراديوي ، يشير كل من المنتج المتوسط ​​ومفهوم المنتج الهامشي إلى العمل (L) ، وهو عامل الإنتاج الوحيد المتغير.

د. متوسط ​​منتج العمل :

متوسط ​​المنتج (ا ف ب) هو الناتج لكل عامل. يمكن تعريفه على أنه إجمالي المنتج مقسومًا على كمية المدخلات المتغيرة (أي عدد العمال) المستخدمين.

في حالة وظيفة الإنتاج أعلاه ، يتم التعبير عن متوسط ​​ناتج العمل (AP L ) على النحو التالي:

بتحديد قيم العمل المختلفة ، يمكننا تحديد متوسط ​​ناتج العمل عند مستويات مختلفة من استخدام المدخلات ، كما هو موضح في الجدول 13.1. إذا كنا مهتمين بمعرفة مستوى استخدام العمل الذي يزيد من متوسط ​​المنتج ، فيجب أن نأخذ المشتق الأول من المعادلة (3) ، ونضعها على قدم المساواة ، ونحلها كما يلي:

وبالتالي ، يبلغ متوسط ​​ناتج العمل 3.75 وحدة عمل كحد أقصى. يوضح الشكل 13.3 بيانياً سلوك المنتج المتوسط ​​للعمل من أجل وظيفة الإنتاج الراديوي. يوفر المنتج المتوسط ​​للمورد المتغير (العمل) للإدارة مقياسًا لكفاءة المدخلات.

على سبيل المثال ، في حالة عدم استخدام إدخال متغير ، يكون إجمالي الناتج صفراً. وبالتالي يتم استخدام الكميات الإيجابية للعامل المتغير للحصول على أي ناتج على الإطلاق. ذلك لأن عامل الإنتاج الثابت يتم استغلاله بشكل غير كافٍ في غياب العمالة.

ينتج عن الوحدة الأولى من العمل 16.5 جهاز لاسلكي يتم إنتاجها ، أما الوحدة الثانية من العمل (عند دمجها مع الوحدة الأولى والموارد الثابتة) فتنتج 42 جهاز راديو وما إلى ذلك. وبالتالي ، فإن متوسط ​​المنتج لوحدة عمل واحدة هو 16.5 جهاز لاسلكي ولوحدتي عمل 21 جهاز راديو.

ومن النقاط المهمة التي يجب ملاحظتها في هذا السياق أنه عندما يتم استخدام وحدتين من العمالة ، فإن متوسط ​​ناتج العمل يزداد. وبالتالي ، من الواضح أن وحدتي العمل أكثر كفاءة من وحدة واحدة. هذا لا يعني بالضرورة أن الوحدة الثانية للعمل أكثر كفاءة من الوحدة الأولى.

الزيادة في متوسط ​​إنتاجية العمل عند استخدام الوحدة الثانية من العمل في عملية الإنتاج هي نتيجة لاستخدام أكثر كفاءة لكل من عامل الإنتاج الثابت ووحدة العمل الأولى. على سبيل المثال ، من الممكن تمامًا أنه عند استخدام وحدة العمل الإضافية ، ستصبح عملية الإنتاج أكثر تخصصًا ، مما يتيح لكلا العمال أن يكونا أكثر كفاءة أو إنتاجية.

هذا ، أيضًا ، له آثار عملية مهمة لكل من مدير الإنتاج ، المهتم بإعداد تدفق العمل ، ومدير الموظفين ، الذي يصمم جداول الأجور. لا ينبغي أن يتقاضى العامل الثاني أجوراً أكثر من الأولى ، ولكن قد يطور كلا العاملين شعورًا بأنه يجب مكافأتهما نظرًا لزيادة إنتاجية الفرد.

ضد المنتج الهامشي للعمل :

في الاقتصاد ، تشير كلمة "الهامش" دائمًا إلى أي شيء إضافي. وبالتالي ، يمكن تعريف المنتج الهامشي للعامل المتغير (العمل) على أنه معدل التغير في إجمالي الناتج المرتبط بتوظيف وحدة إضافية واحدة من العامل المتغير. لمعرفة المنتج الهامشي ، يجب أن نأخذ المشتق الأول من وظيفة الإنتاج. في مثال الإنتاج اللاسلكي الخاص بنا ، يمكن حساب المنتج الهامشي للعمل (MP L )

بالنظر إلى الناتج الهامشي لوظيفة العمل في المعادلة (5) ، فإن القيم المحددة المرتبطة بمستويات معينة من مدخلات العمل مذكورة في العمود الأخير من الجدول 13.1. يتم الحصول على كل من هذه القيم عن طريق استبدال قيم L في المعادلة (5) وحل للمنتج الهامشي.

المعلومات الواردة في هذا العمود موضحة بيانياً في الشكل 13.3. يتم قياس الناتج الهامشي للعمالة بواسطة ميل منحنى إجمالي المنتج عند نقطة معينة ، dQ / dL. يكون ميل منحنى المنتج الإجمالي موجبًا في البداية (يعني ضمناً MP L ) ، ثم صفر (يعني صفر صفر MP L أو ثابت إجمالي المنتج) والسالب في نهاية المطاف (يعني ضمنا MP L. )

بدلاً من ذلك ، يمكن حساب المنتج الهامشي المتوسط ​​أو المنتج الهامشي لكل وحدة من مدخلات العمل على مدى نطاق المدخلات من خلال ربط التغيير المطلق في المخرجات (q) بالتغيير المطلق في المدخلات (عامل) المتغير (∆L). وبالتالي عند استخدام الوحدة الثانية من العمل ، تبلغ MP L لكل وحدة 25.5 وحدة:

متوسط ​​MP L = /Q / ∆L = (42.0-16.5) / (2-1) = 25.5 (6)

وبالتالي ، على المدى من واحد إلى وحدتين من العمالة ، يبلغ متوسط ​​الناتج الحدي 25.5 وحدة. في مثالنا ، كل وحدة من العمال = 10 عمال. لذلك ، متوسط ​​MP L = 255.5 / 10 = 2.55.

عندما تساوي L 2 ، يكون الناتج الهامشي للعمل (كما هو موضح في الجدول 13.1) 28 وحدة (أو متوسط ​​MP L = 2.8 وحدة). هذا التمييز بين القيمة الهامشية عند نقطة واحدة على المنحنى ، والقيمة الهامشية بين النقطتين على المنحنى يحمل أهمية في القرارات الإدارية التي تنطوي على التكلفة والإخراج.

خصائص وظائف الإنتاج:

قد ننتقل الآن إلى القضية الأساسية لخصائص وظيفة الإنتاج على المدى القصير وآثار هذه الخصائص على المديرين الممارسين في ظل هذه الخلفية.

أنا. قانون تناقص العائدات:

يعتمد شكل إجمالي المنتج ، ومنحنى المنتج المتوسط ​​، والمنتج الهامشي إلى حد كبير على قانون تكنولوجي أساسي ، أي قانون العوائد المتناقصة الذي اكتشفه في الأصل خبيران اقتصاديان كلاسيكيان ، هما David Ricardo و TR Malthus.

يُطلق على القانون بدلاً من ذلك قانون أبعاد متغيرة أو بسبب العلاقة العكسية بين التكاليف والإنتاجية وقانون زيادة تكاليف الفرصة البديلة (الهامشية).

ينص قانون تناقص العائدات ببساطة على أنه مع زيادة كمية المدخلات المتغيرة بزيادة إضافية متساوية ، مع الحفاظ على جميع العوامل الأخرى وحالة التكنولوجيا دون تغيير ، فإن الزيادة في إجمالي الإنتاج ستنخفض في النهاية.

بمعنى آخر ، حيث يتم تطبيق المزيد والمزيد من الوحدة 6 من العامل المتغير مع كمية ثابتة من العوامل الأخرى ، فإن كل وحدة إضافية من العامل المتغير ستقدم تدريجياً مساهمة أقل وأقل في إجمالي المنتج.

بشكل مختلف ، سوف تقل مساهمة العامل الأخير في TP L تدريجياً. فذلك لأن العامل المتغير سيحتوي تدريجياً على وحدات أقل وثابتة من العامل الثابت للعمل معه. يمكن الإشارة إلى جوهر قانون النسب المتغيرة على النحو التالي: إذا كان لا يمكن تغيير جميع المدخلات بالتناسب على المدى القصير ، فسيتبع الناتج قانون العائدات غير التناسبية.

يظل قانون تناقص العائدات قائما على المدى القصير لأن جميع العوامل باستثناء عامل واحد لم تتغير. كان القرار الوحيد الذي يتعين على الإدارة اتخاذه في حالة وظيفة الإنتاج اللاسلكي هو تحديد كمية العمل المناسبة التي يجب استخدامها في عملية الإنتاج.

علاوة على ذلك ، يفترض أيضًا أن تظل حالة التقنية ثابتة. أخيرًا ، يشير قانون تناقص العائدات إلى النقطة التي يبدأ فيها المنتج الهامشي للعامل المتغير في الانخفاض ، وليس النقطة التي يصبح عندها سلبيًا (أي عندما ينخفض ​​إجمالي المنتج نفسه).

قانون تناقص الغلة هو قانون تجريبي للإنتاج. تم اكتشافه لأول مرة من تجربة المزارعين. إنه في الواقع بيان يتعلق بالعلاقة المادية بين الكميات المختلفة من المدخلات المتغيرة والإخراج الناتج.

القانون قابل للتطبيق عالميا. إذا لم يحتفظ القانون في جميع حالات الإنتاج على المدى القصير تقريبًا ، فلن يتوقف مدراء الإنتاج أبدًا عن استخدام وحدات إضافية من عامل الإنتاج المتغير ، لأن MP L سيكون دائمًا إيجابيًا.

بالنسبة لوظيفة الإنتاج اللاسلكي ، يبدأ تشغيل قانون تناقص الغلة عند استخدام 2.5 وحدة من العمل.

للتحقق من ذلك ، يتعين علينا أن نأخذ المشتق الأول للمنتج الهامشي لوظيفة العمل ، وقم بتعيينه يساوي الصفر ، وحل لـ L للحصول على:

بدلاً من ذلك ، يمكن بسهولة اختبار تشغيل القانون أو فرضية العوائد المتناقصة ببساطة عن طريق أخذ المشتق الثاني من الوظيفة الكلية للمنتج (المنتج).

ثانيا. العلاقة الهامشية الكلية :

يعرض الشكل 13.4 العلاقات بين منحنيات المنتج الثلاثة لأنها مشتقة من وظيفة الإنتاج الراديوي. نظرًا لأن المنتج الهامشي يتم قياسه بميل منحنى إجمالي المنتج ، فإن المنتج الهامشي يساوي الصفر عندما يكون ميل منحنى إجمالي المنتج يساوي الصفر (أي عندما يصل إجمالي المنتج إلى المستوى الأقصى).

يحدث هذا عندما يكون الناتج 115.6 وحدة ومدخل العمالة 5.6 وحدة. إذا تم استخدام أكثر من 5.6 وحدة من العمالة ، فإن إجمالي المنتجات سينخفض ​​فعليًا وسيصبح المنتج الهامشي سالبًا.

النقطة التي عندها تتناقص العوائد المحددة ، 2.5 وحدة من العمالة المتغيرة ، هي أيضًا النقطة التي يبدأ بها ميل منحنى إجمالي المنتج في الانخفاض. في الرياضيات ، تُعرف هذه النقطة باسم نقطة الانعكاس ، وتحدث عندما يكون المشتق الثاني لمنحنى المنتج الإجمالي يساوي الصفر.

يعكس منحنى المنتج الإجمالي الافتراضات التالية:

1. لا يمكن إنتاج أي ناتج بمستوى صفر من العمل (سبق الإشارة إلى هذه النقطة).

2. الإخراج ، الزيادات الأولى بمعدل متزايد. في الشكل 13.4 ، يحدث هذا عند استخدام عاملين. على هذا النطاق ، يتزايد المنتج الهامشي.

3. يزيد إجمالي المنتج بعد ذلك ولكن بمعدل تناقص ، أي بين 3 و 5.6. أكثر من هذا المنتج الهامشي يتناقص.

4. أخيرًا ، سيتم الوصول إلى نقطة تتجاوز بعدها إجمالي الإنتاج بحد ذاته ، مما يشير إلى منتج هامشي سلبي. في الشكل 13.4 ، يحدث هذا لمستويات التوظيف التي تزيد عن 5.6.

ثالثا. العلاقة المتوسطة الهامشية :

هناك أيضًا علاقة وثيقة جدًا بين MP L و AP L. تجدر الإشارة إلى النقاط الثلاث التالية في هذا السياق:

1. طالما أن منحنى المنتج الهامشي يقع فوق منحنى المنتج المتوسط ​​، فإن منحنى المنتج المتوسط ​​سيرتفع. المعنى الضمني هو أن متوسط ​​كفاءة العامل المتغير آخذ في الازدياد.

2. كلما كان المنتج الهامشي أقل من متوسط ​​المنتج ، سينخفض ​​متوسط ​​المنتج.

3. وبالتالي ، من المنطقي أن يكون المنتج الهامشي مساويًا لمتوسط ​​المنتج عندما يصل الأخير إلى الحد الأقصى ، أي عندما لا يتزايد ولا يسقط.

يحدث هذا في مثالنا عند استخدام 3.75 وحدة من العمالة في عملية الإنتاج. أي ، بالنظر إلى الكمية الثابتة لعوامل الإنتاج الأخرى ، يحدث الحد الأقصى للإنتاج لكل عامل عند استخدام 3.75 وحدة من العمالة. قد تكون هذه النقاط الثلاث مثبتة رياضيا.

تجدر الإشارة إلى أن متوسط ​​المنتج يستمر في الزيادة حتى بعد أن بدأ المنتج الهامشي للمدخلات المتغيرة في الانخفاض. سيستمر متوسط ​​المنتج في الارتفاع طالما أن المنتج الهامشي أكبر من متوسط ​​المنتج.

النقطة التي يصل عندها متوسط ​​المنتج إلى الحد الأقصى هو نقطة الكفاءة القصوى للإنتاج على المدى القصير. ومع ذلك ، هذه ليست بالضرورة النقطة التي يتم عندها تعظيم الأرباح. يجب مراعاة أسعار السوق للعوامل المختلفة مع بيانات الإنتاجية قبل تحليل تكاليف العوامل بوضوح.

مرونة الإنتاج :

يمكن تعريف مرونة الإنتاج على أنها نسبة التغير في الإنتاج إلى النسبة المئوية للتغير في مقدار المدخلات المتغيرة.

إنه يقيس درجة استجابة الناتج الإجمالي إلى تغيير بسيط في المدخلات المتغيرة.

للتغيرات المستمرة في L و Q ، يمكن التعبير عن مرونة الإنتاج على النحو

تكشف نظرة فاحصة على المعادلة (9) أن مرونة الإنتاج هي ببساطة نسبة المنتج الهامشي إلى متوسط ​​ناتج العامل المتغير (العمل) ، أي

بالنسبة لوظيفة الإنتاج الراديوي في المعادلة (2) ، فإن مرونة الإنتاج تساوي

يقدم الجدول 13.2 تفاصيل نتائج القيم البديلة للمدخلات المتغيرة ، العمالة ، في المعادلة (11).

من الجدول 13.2 نكتشف النتيجة المهمة التي تصل إلى 3.75 وحدة من العمالة (L) ، ومرونة الإنتاج تتجاوز 1 ، مما يشير إلى أن الإنتاج يزداد بوتيرة أسرع من استخدام المدخلات. هذا بحد ذاته اختبار لفعالية عملية الإنتاج.

عندما يتم دمج 3.75 وحدة من العمالة مع عوامل الإنتاج الثابتة ، فإن مرونة الإنتاج تساوي بالضبط 1 ، مما يشير إلى أن الإنتاج يزداد بمعدل يزداد فيه استخدام العمل. عندما يتم استخدام أكثر من 3.75 وحدة من العمالة ، لا يزال الإنتاج يزداد ، ولكن بشكل أبطأ من استخدام العمالة.

أكثر من 5.6 وحدة من العمالة ، ينخفض ​​الإنتاج فعليًا على الرغم من أن كمية استخدام العمل تتزايد. تتوافق قيمة دخل العمل عند 3.75 وحدة مع "ذروة" AP AP ، المنحنى ، أي أقصى AP L ، وهي أيضًا نقطة فصل أو نقطة حرجة لمرونة الإنتاج.

مرونة الإنتاج لها تأثيرات عملية أكبر على مديري الإنتاج الذين يُطلب منهم رفع وخفض الإنتاج على أساس دوري. يوضح المفهوم أن زيادة الإنتاج بنسبة 20٪ لن تتطلب دائمًا زيادة بنسبة 20٪ في استخدام اليد العاملة.

ثلاث مراحل من الإنتاج وصنع القرار :

من مناقشتنا حتى الآن اكتشفنا ثلاث مراحل مختلفة من عملية الإنتاج على المدى القصير. كل مرحلة مهمة من وجهة نظر كفاءة استخدام الموارد (كما هو مبين في الشكل 13.4). تشكل المراحل الثلاث معًا ما يسمى على نطاق واسع بقانون النسب المتغيرة.

في المرحلة 1 ، يتجاوز المنتج الهامشي متوسط ​​المنتج. في مثالنا ، تبدأ المرحلة 1 عندما تكون كمية العمل مساوية للصفر وتستمر حتى النقطة التي يتم فيها تشغيل 3.75 وحدة من العمالة. في هذه المرحلة الأولية ، لا يتم ضغط العوامل الثابتة للإنتاج في الخدمة بشكل كامل ولا يتم تحقيق الحد الأقصى من كفاءة الإنتاج.

من الواضح تمامًا أنه إذا لم يتم استخدام أي مدخلات من العمالة ، فسيكون الناتج صفراً ، على الرغم من توفر عوامل الإنتاج الثابتة. هذا لأنه لا يمكن استخدام عوامل الإنتاج الثابتة بكفاءة دون استخدام مدخلات العمل بشكل كاف.

من وجهة نظر الجدوى الاقتصادية ، تشير العلاقات في المرحلة 1 إلى ضرورة استمرار الإنتاج حتى الوصول إلى المرحلة 2. إن المعنى الضمني هو أن الهدف من الربح لن يسعى بالتأكيد إلى توسيع الإنتاج طوال المرحلة الأولى.

وذلك لأنه طالما زاد متوسط ​​المنتج ، أصبحت عملية الإنتاج أكثر وأكثر كفاءة (زيادة عدد أجهزة الراديو المنتجة لكل وحدة عمل).

هذا هو الحال خلال المرحلة الأولى حيث أن متوسط ​​ناتج العمل هو مقياس لفعاليتها. لذلك ، هناك ما يبرر زيادة مستمرة في استخدام العامل المتغير طوال المرحلة 1. في مثالنا ، يجب على صانع قرار الإنتاج زيادة استخدام العمالة حتى 3.75 وحدة على الأقل.

في المرحلة 3 إجمالي المنتج هو نفسه السقوط. وبالتالي لن يستخدم صانع القرار العقلاني أكثر من 5.6 وحدة من العمالة ، أيا كان سعره. وراء هذه النقطة ، ستؤدي كل وحدة عمل إضافية إلى انخفاض إجمالي الإنتاج.

علاوة على ذلك ، فإن مرونة الإنتاج سلبية في المرحلة 3 ، مما يؤدي إلى نفس النتيجة. المرحلة 2 وحدودها هي المنطقة المجدية اقتصاديًا ، أي المنطقة التي سيختار فيها المنتج الرشيد العمل.

لا يمكن تحديد المقدار الدقيق للعمل الذي يجب استخدامه لتحقيق أقصى قدر من الأرباح إلا بعد معرفة أسعار المدخلات والمخرجات. ومع ذلك ، فمن المعروف لنا أن الشركة ستستخدم ما بين 3.75 و 5.6 وحدة من العمالة.

يلخص الجدول 13.3 العلاقات الموجودة في كل مرحلة من مراحل الإنتاج على المدى القصير.

الإنتاج مع اثنين أو أكثر من المدخلات المتغيرة :

قد نوسع الآن تحليلنا ليشمل أكثر من إدخال متغير. ستستمر المبادئ التي تم تطويرها في هذا القسم في التطبيق. قد نستمر في افتراض أن واحدًا على الأقل من عوامل الإنتاج ثابت في الكمية. هذا يعني أننا لا نزال نتعامل مع المدى القصير ، وفي هذه الحالة سيتم تطبيق قانون تناقص الغلة.

يتم قياس مدخلات رأس المال رأسيا ويتم قياس مدخلات العمل أفقيا (انظر الشكل 13.5). يوضح الرقم عند تقاطع الصف والعمود المخرجات لمستوى رأس المال والعمالة هذا.

على سبيل المثال ، تنتج 4 آلات وعاملان 50 وحدة إنتاج. كما يمكن التمييز بين تطبيق قانون تناقص الغلة. عندما يكون دخل الآلات ثابتًا عند 4 وحدات ، فإن وحدات العمل الإضافية تؤدي إلى إضافة إضافات أصغر وأصغر إلى الخرج. وهكذا ، على طول صف معين يزيد الإنتاج ، ولكن بمعدل تناقص.

إذا كانت جميع المدخلات متغيرة ، فلن يتم تطبيق قانون تناقص العائدات ، وسيتم استبدال المدى القصير بفترة طويلة المدى وفي هذه الحالة تكون القرارات التي ستتخذها الشركة مختلفة بشكل واضح.

مثال:

يقدر مديرو إنتاج شركة Metal Box Co. أن عملية الإنتاج الخاصة بهم تتميز حاليًا بوظيفة الإنتاج على المدى القصير التالية:

س = 72X + 15X2 - X3 ،

حيث س = أطنان من الصناديق المنتجة في كل فترة الإنتاج و

X = وحدات المدخلات المتغيرة المستخدمة في كل فترة الإنتاج.

(أ) يوضح بيانياً وظيفة الإنتاج ، مع الإشارة إلى ما يلي:

ط) نطاق زيادة العائدات ؛

ب) مدى انخفاض العوائد.

(ب) حدد معادلة MP و AP للعامل المتغير.

(ج) ما هو المنتج الهامشى عند استخدام سبع وحدات من المدخلات المتغيرة؟

(د) ما هى القدرة الانتاجية القصوى لكل فترة؟

(a) The production function is Q = 72X + 15X2 – X3 and from this equation for total product Q we can derive marginal and average product figures by putting in the equation, different values for X (See Table 13.1). Total product curve is shown in Fig. 13.16 below.

The law of decreasing returns starts to operate when the seventh man is employed, ie, the output produced by each additional unit of the variable factor X after the sixth, begins to fall. Conversely, increasing returns apply up to and including the sixth unit of the variable factor.

(b) The marginal product of X represents the rate of change of the total product schedule.

Thus differentiating total product (TP) with respect of X gives us the MP equation:

The average product equation is simply derived by dividing the total product by the variable input X. Thus we get,

Ap = 72X + 15X2 –X3/X =72+15X – X2

(c) To find out the marginal product when seven units of the variable input are employed, requires the substitution of the relevant number into the MP equation:

MP = 72 + 30 X 7 – 3 x 72 = 72 + 210 – 147 = 135.

(d) The maximum output capacity in the short term can be obtained in two alternative ways. First, by reading the relevant figure from the graph or obtaining the data from the prepared table. The second method would be to make use of the MP schedule. It is known that maximum output occurs where MP = 0. Hence the quantity of the variable input that would be employed in this situation may be obtained by making the MP equation equal to 0:

72 + 30X – X7 = 0

24+10X -X2 = 0

(12-X)(2 + X) = 0

X = 12, or, – 2.

Since employment of negative variable factors is a logical impossibility, the solution X = — 2 may be ignored. The marginal product of the twelfth man is 0. Maximum, ” output is being achieved when twelve men are employed. So by utilizing the production function equation, the maximum output may be determined by substituting 12 for X:

Q = 72 x 12 + 15 x 122 – 123 = 1, 296.

Production in the Long-Run :

We will now consider the more general case of production with two or more variable inputs. To make diagrammatic analysis possible we consider only two variable factors. We may assume either that these two factors are the only variable factors or that one of the two factors represents some combination of various other variable factors.

Production Isoquants :

When analysing production with more than one variable input, it is not possible simply to use average and marginal product curves because these curves are derived holding the use of all other inputs constant (fixed) and allowing the use of only one input to vary.

If we were to change the usage of the fixed input, total, average, and marginal product curves would all shift. In the case of two variable inputs, changing the use of one input is likely to cause a shift in the marginal and average product curves of the other input. For example, an increase in capital would probably result in an increase in the marginal product of labour over a wide range of labour use.

The main point to note is that the long-run production function involving two variable inputs – labour and capital – can be shown diagrammatically. The production isoquant or equal-product curve is, in fact, a graphical representation of such a production function.

It can be defined as follows:

An isoquant is a locus of points showing all possible combinations of labour and capital physically capable of producing a fixed level of output. It is also known as production indifference curve.

While discussing the nature of long-run production, Samuel Webb has drawn a distinction between substitute and complementary inputs. According to him, “in production processes where exact amounts of two or more inputs are required to produce given units of output, the inputs are said to be perfect complements.”

A classic example is the primitive case where one man plus one shovel can produce a hole in the ground in a given amount of time.

This is shown by point A on isoquant Q 1 in Fig. 13.7(a). An additional shovel, at point B, is of no value to a man who can use only one at a time. In a like manner, an additional worker where there is only one shovel at point C can produce no more holes, assuming shovels are essential for digging and that a worker can work continuously without relief.

We see that isoquants for perfect complements are Z-shaped. Other examples given by Webb include component parts such as frames and wheels for vehicles, leather and buckles for leather belts, handles and blades for knives, foundations and roofs for houses, and so on.

Some products can be produced by inputs that can be readily substituted for each other, eg, coal and firewood. These two items might be perfect substitutes for each other in the generation of heat. Similarly, two nickels will work as well as one dime in operating many vending machines.

Alternative foods may fulfil minimum nutrient requirements equally well; for instance, peanut butter and corn meal are both rich in protein, white potatoes and – spinach are good sources of ascorbic acid. Shipments may be made as quickly by river as by rail. Isoquants for such examples are shown in Fig. 13.7(c).

In-between these two extreme cases there lie the more common cases where factors are substitutable for each other in varying degrees.

Fig. 13.7(c) illustrates two such isoquants. Isoquants I indicates all possibly combinations of capital and labour that are capable of producing the same level of output. We see that the firm can produce 100 units of output by using 10 units of capital and 75 of labour (point D), or 50 units of capital and 15 of labour (point A), or by using any other combination of capital and labour specified by isoquant I.

In a like manner, isoquant II shows various combinations of capital and labour that can be used to produce 200 units of output. However, each capital-labour combination can be on only one, isoquant. In other words, isoquants, like consumption indifference curves, cannot meet or intersect. Isoquants I and II are only two of an infinite number of isoquants that could possibly be shown in the diagram.

All the isoquants together constitute an isoquant map In an isoquant map, an isoquant which lies above and to the right of another shows a higher level of output. Thus, in Fig. 13.7(c) isoquant II indicates a higher level of output than that indicated by isoquant I.

Distinguishing between Movements along and Movements among Isoquants :

Each of the two isoquants in Fig. 13.7(c) represents the various combinations of the two variable inputs that can be used to produce the specified level of output. As we move from A to B along the isoquant for 100 units of output, the only change is in the capital labour ratio.

At point B, we have more labour and fewer units of capital than at point A. Moving outward along a particular ray (like OR), the ratio of the two inputs remains constant, but total output increases because more of both the inputs are being utilized.

Technical Vs. Economic Efficiency :

It is also important to note that combinations other than those on a given isoquant can be used to produce the given level of output; but such combinations would not reflect the “maximum-amount- of-output” and thus show economic efficiency of the production process. In Fig. 13.7(c), it- is clear that 100 units of output could be produced using more than 10 units of capital and more than 75 units of labour.

However, such production would simply 'waste' economic resources. By contrast, it is impossible to produce 100 units of output using less than 10 units of capital with 75 units of labour, or vice versa. For any combination along an isoquant, if the usage level of either input is reduced and of the other is held constant, output will fall.

The Marginal Rate of Technical Substitution :

As shown in Fig. 13.7(c) isoquants slope downward over the relevant range of production. This negative slope indicates that if the firm reduces the amount of capital employed, more labour has to be used to keep the level of output unchanged.

Alternatively, if labour use is decreased, capital usage must be increased to keep output constant. Thus, the two inputs can be substituted for each other to maintain a specified or fixed level of output.

The rate at which one input must be substituted for another keeping output constant, as along an isoquant, is called the marginal rate of technical substitution (MRTS), and is expressed as

MRTS = /K / ∆L

The minus sign is added in order to make MRTS a positive number, since ∆K/∆L, the slope of the isoquant, is already negative (because additional use of any factor always at the expense of the other).

Over the relevant range (ie, economic region) of productions the MRTS diminishes. That is, as more and more labour is substituted for capital keeping output constant, the absolute value of ∆K/∆L falls. This can be seen in Fig. 13.7(c).

If capital is reduced from 50 to 40 (a decrease of 10 units) labour must be increased by only 5 units (from 15 to 20) in order to keep the level of output unchanged at 100 units. That is, when capital is abundant relative to labour, the firm can discharge 10 units of capital but must substitute only 5 units of labour in order to obtain the same level of output.

The marginal rate of technical substitution in this case is -∆K/∆L = (—10)/5 = 2, implying that for every unit of labour added, two units of capital can be released in order to maintain the same level of output. However, consider a combination where capital is more scarce and labour more abundant.

For example, if capital is reduced from 20 to 10 (again a reduction of 10 units) labour has to be increased by 35 units (from 40 to 75) to keep output unchanged at 100 units. In this case MRTS is 10/35, indicating that for each unit of labour added capital can be decreased by 2/7 of a unit.

Thus, as capital is reduced and labour is increased along an isoquant, the amount of capital that can be released for each unit of labour added gradually diminishes. Differently put, the amount of labour that must be added for each unit of capital discharged, keeping output constant, must increase.

The slope of the isoquant measures the rate at which labour can be substituted for capital and vice-versa. It is observed that the isoquant becomes flatter and flatter as the producer moves downward from left to right. In other words, M RTS declines along an isoquant.

Relation of MRTS to Marginal Products :

By using elementary calculus we can summarize this relation very quickly. In the case of two- input production function

س = ك (ك ، ل)

we take the total differential and hold output constant on a particular isoquant. By using elementary calculus we can summarize this relation very quickly. In the case of two-input production function

In the theory of consumer demand we noted that MRS is the ratio of the two marginal utilities. The same type of relation holds here, too. Thus, for very small movements along an isoquant, the MRTS is just the ratio of the marginal products of the two inputs. هذه النقطة قد تكون ثبت الآن.

The level of output, Q, depends upon the use of the two inputs, L and K. Since output Q is the same at all points on an isoquant, ∆Q is zero for any change in L and K along an isoquant. Suppose that, at a point on the isoquant, the marginal product of capital (MPk) is 3 and the marginal product of labour (MP L ) is 6.

Then, if we add one unit of labour, output would increase by 6 units. How much capital must be eliminated to keep output unchanged? Capital must decrease enough to offset the increase in output generated by the increase in labour. Since the marginal product of capital is 3, two units of capital must be released. Thus, in our example, the MRTS = -∆K/∆L = – (-2)/1 = 2, which is exactly equal to MP L /MP k = 6/3 = 2.

Alternatively, if we were to reduce capital by one unit, output would fall by 3 units. Labour has to increase by ½ of a unit of neutralize the decline of 3 units of output or to keep output constant, since MP L = 6. In this case the MRTS = -∆K/∆L = — (—1)/1/2 = 2, which is once more equal to MP L /MP k .

Thus, in general, when L and K are allowed to vary marginally, the change in Q resulting from the change in the two inputs is the marginal product of L times the amount of change in L plus the marginal product of K times its change.

Thus in terms of symbols:

∆Q = (MP L ) (∆L) + (MP k ) (∆K).

In order that the producer stays on the same isoquant it is necessary to set AQ equal to zero. Then solving for the MRTS, we get:

MRTS = ∆K/∆L = MP L /MP K

The M RTS diminishes as the producer moves along an isoquant from left to right. It is because as additional units of labour are substituted for capital, the marginal product of labour falls.

Two forces work further to cause marginal product of labour to a fall:

(1) Less capital causes a downward shift of the marginal product of labour curve, and

(2) Additional units of the variable input (labour) cause a downward movement along the marginal product curve.

Thus, as labour is substituted for capital the marginal product of labour has to fall. For similar reasons, the marginal product of capital increases as less capital and more labour are used to produce the same level of output.

Thus, as labour is substituted for capital the marginal product of capital increases. Combining these two conditions as labour is substituted for capital, MP L decreases and MP k increases; so MP L /MP k will diminish.

Ridge Lines and the Economic Region of Production :

We have postulated convexity of isoquants. And it presupposes positive marginal product of L and K. But MP of L may become negative if the application of L is so large relative to quantities of other input(s), say capital, that an increase of labour would result in congestion and inefficiency, in which case MP may turn out to be negative. Then returns to scale (RTS) would become negative, as at point A of Fig. 13.7.

The definition of production function does not preclude the possibility of negative RTS. Clearly, a movement from A to B would result in a reduction of both L and K. And since inputs are to be paid, an entrepreneur would prefer point B to point A, as he is assumed to behave rationally. The ridge lines OC and OD enclose the area of rational operation, ie, they delineate the regions in which input combinations are economical.

Figure 13.8

Ridge Lines

The Optimal Combination of Inputs :

Thus it is clear that any desired level of output can be produced by a number of different combinations of inputs. But as we noted at the outset, one of the four production decisions a manager must make is: which input combination to use, or, what is the 'optimal' input combination?

The manager can choose from among different combinations of capital (K) and labour (L) to produce a given level of output. Or, faced with specified input prices, it can choose from among many combinations of K and L that would lead to a fixed level of cost, ie, expenditure.

Thus he has to make either of two input choice decisions:

1. Choose the input combination that yields the maximum level of output possible with a fixed outlay (ie, output maximization subject to cost constraint).

2. Choose the input combination that leads to the lowest cost of producing a fixed level of output (ie, cost minimization subject to output constraint).

The solution to any constrained maximization or minimization problem is choosing the level of each activity whereby the marginal benefits from each activity, per rupee spent, is the same at the margin.

To ensure this, the profit-maximizing firm has to choose that input combination for which the marginal product divided by input price is the same for all inputs used. The implication is that for our two-input case a firm attains the highest level of output when

MP L /P L = MP k /P K or MP L /w = MP K /r

were w and r are, respectively the prices of labour (P L ) and capital (P K ). Thus the MRTS = (MP L / MPk) equals the factor price ratio (w/r). This combination may now be illustrated graphically.

Input Prices and Isocosts :

The isoquant shows the desire of the producer. But the desire to produce a commodity is not enough. The firm must have capacity to do so. Usually a firm is supposed to have a fixed amount of money to buy resources. In other words, like a consumer, the producer has also to operate under a budget constraint. The isocost line is, in fact, the producer's budget line.

In determining the optimal input combination, a profit-maximizing firm or producer has to pay attention to relative input prices if it is to minimize the cost of producing a given output, or maximizing output for a given level of cost. Input prices are determined by the market forces, ie, by supply and demand in the input market.

For producers who are not 'monopsonists' or 'oligopsonists' (ie, the sole purchaser of, or one of a few purchasers of an input), input prices are taken as given by the market. Here we look at a producer who is a competitor in the input market facing given market-determined input prices; so we treat the input prices as fixed.

So the total cost equation is C = rK + wL where all the terms have their usual meaning. Total cost (outlay) is simply the sum of the cost of K units of capital at r rupees per unit and of L units of labour at w rupees per unit.

دعونا ننظر في مثال بسيط. Suppose capital costs Rs. 100 per month per unit (r = Rs. 100) and labour receives a wage of Rs. 250 per unit (w = Rs. 250). Then the firm's total cost function is

C = 100 K + 250 L.

Now suppose the firm decides to spend Rs.1, 500 per month for capital and labour. Thus the equation becomes 1500 = 100A' + 250L . If we solve this equation for K, we see the combinations of K and L that can be chosen is K = 15 — 2.5L.

Similarly, if Rs. 2, 000 are to be spent on K and L, the firm can purchase combinations given the relation: K = 20 — 2.5L. In a more general situation, if a fixed amount C is to be spent, the firm can choose among the combinations given by

This equation is illustrated in Fig. 13.9. If Rs. 1, 500 is spent on capital alone, 15 units of capital may be bought. If Rs. 2, 000 is spent on capital alone, 20 units of capital may be purchased.

More generally, if C is to be totally spent and r is the unit cost, the maximum amount of capital that can be purchased is C/r units; C/r is, therefore, the vertical intercept of the line. If one unit of labour is purchased at Rs. 250, 2 ½ units of capital have to be sacrificed; if 2 units of labour are bought, 5 units of capital must be given up and so on.

Thus, as the purchase of labour is increased, the purchase of capital has to fall if total cost remains fixed. In other words, each extra unit of labour purchased, w/r units of capital must be foregone. In Fig. 13.9, w/r = 2.5. The negative of this ratio is the slope of the line. This slope shows the actual rate of factor substitution, ie, the rate at which capital can be substituted by labour, or labour by capital, in the market-place.

The lines in Fig. 13.9 are called isocost lines because they show the various combinations of inputs that may be purchased with a fixed amount of money. In other words, total cost is the same at all points on the line.

An increase in outlay, holding factor prices fixed, leads to a parallel rightward shift of the isocost line. Thus the isocost line for C = Rs. 2, 000 lies above the line for C = Rs. 1500. There would exist an infinite number of isocost lines, each relating to a different level of cost outlay (expenditure).

At fixed input prices, r and w for capital and labour, it is possible to purchase with a fixed outlay C, any combination of capital and labour given by the following linear equation:

K = C/r – w/r L.

This is the equation for an isocost line whose intercept (C/r) is the amount of capital that may be purchased if no labour is bought and whose slope is the negative of the factor-price ratio (w/r).

If the relative factor prices change, the slope of the isocost line must change, If w rises relative to r, the isocost line becomes steeper. If w falls relative to r, the isocost line becomes flatter.

Production of a Given Output at Minimum Cost :

Whatever output a firm chooses to produce, the production manager is desirous of producing it at the lowest possible cost. To accomplish this objective, the production process must not only be technically efficient but economically efficient, as well. So the production process has to be organized in the most efficient manner.

Suppose that at given input prices r and w, a firm wishes to produce the output indicated by isoquant Q 0 = 100 in Fig. 13.10. Isocost lines KL, K'L' and K”L” are three of the infinite number of isocost lines from which the producer can choose at the given factor prices. Obviously, the firm will choose the lowest level of cost outlay that enables output level Q 0 = 100 to be produced.

In Fig. 13.10 that output level will be produced at the cost represented by isocost line K' L'. Any cost outlay below that, for example that represented by KL, is not feasible since it is impossible to produce output Q 0 with these factor combinations. Any factor combination above that represented by K'L' are not considered because the firm seeks to produce the desired output at least cost.

If combinations A or B are chosen, at the cost outlay represented by K”L”, the producer can reduce costs by moving along Q 0 to point E. Point E shows the optimal resource combination, K 0 units of capital and L 0 units of labour. This is known as the least cost combination (ie, most efficient) of inputs.

Recall that the isoquant shows the desired rate of factor substitution and the isocost line the actual rate of factor substitution. A firm reaches equilibrium and thus minimizes cost when the lowest possible isocost line (whose slope is the factor-price ratio) is tangent to the isoquant (whose slope is MRTS).

At this point of tangency the slopes of the two curves are equal, or,

MP L /MP k = w/r, or, MP L /w = MP k /r

Put differently, production at least cost requires that the MRTS of capital for labour be equal to the ratio of the price of labour to the price of capital.

The factor price ratio tells the producer the rate at which one input can actually be substituted for another in the market place. Recall that MRTS shows the rate at which the producer can substitute between the inputs in production. If the two are not equal, a firm can reduce cost further by altering the factor proportion.

Thus, to minimize the cost (expenditure) necessary to produce a given level of output with given input prices, the producer must combine inputs in such quantities that the MRTS of capital for labour is equal to the factor price ratio (the price of labour to the price of capital).

We can analyse the equilibrium condition in an alternative way. Suppose the equilibrium condition did not hold or, specifically, that the producer was at point B in Fig. 13.9. At point B,

In this case the marginal product of an additional rupee worth of labour is less than the marginal product of an additional rupee worth of capital. The firm could therefore reduce its use of labour by Re. 1, expand its use of capital by Re. 1, and produce the same level of output but at a reduced cost. It could continue to do this until the above inequality is converted into an equality.

Eventually, MP L /w would become equal to, MP k /r since MP L rises with decreased use of labour and increased use of capital and MP k falls with increased capital, and decreased labour. By following the same logic it is possible to establish that if the inequality is reversed, such as the case at point A, the firm would continue to substitute labour for capital until the equality holds.

Mathematical Note :

This equation states that for the firm to be employing the least cost combination of inputs K and L, the additional output obtainable from spending an extra rupee on input L must equal the additional output obtainable from spending another rupee on input K.

If this relationship did not hold, the firm would gain by purchasing less of the input with a lower additional output per additional rupee expenditure, and more of the input with a greater additional output per extra rupee expenditure.

مثال :

Suppose for a firm using two inputs K and L, MP L = 5, P L = Rs. 5, MP K = 40, and P K = Rs. 25. Is the firm optimizing the use of its resources? If not, why not?

الحل :

Here MP L /P L < MP K /P K (1unit per rupee < 1.6 units per rupee). So the firm would be better off by using less labour and more capital. (If the firm spend an additional Rs. 25 on labour it would gain 25 units of output, whereas if it spends an additional Rs. 25′ on capital, it would gain 40 additional units of output).

Production of Maximum Output with a Given Level of Cost:

An alternative, but more preferable way of presenting the optimization problem is to assume that the firm can spend only a fixed amount of money to produce a commodity and it seeks to attain the highest level of production consistent with that amount of outlay. This approach seems to be more practical than the previous one. The end result will be the same as before.

Such a situation is illustrated in Fig. 13.11. The isocost line K L shows all possible combinations of the two inputs that can be purchased with a fixed amount of money and a fixed set of factor prices. Four hypothetical isoquants are shown. Clearly, at

the given level of cost, output level Q 3 is unattainable. And, neither output level Q 0 nor level Q 1 would be chosen, since higher levels of output can be produced with the fixed cost outlay. The highest possible output with the given level of cost is produced by using L o amount of labour and K 0 amount of capital.

At point A, the given isocost line is tangent to the highest attainable isoquant, viz., isoquant Q 2 . Thus, in the case of constrained output maximization, the MRTS of capital for labour equals the factor-price ratio (the price of labour to the price of capital).

Thus in order either to maximize output subject to a given cost or to minimize cost subject to a given output, the production manager must employ factors in such amounts as to equate the MRTS with the factor price ratio.

The Expansion Path :

In Fig. 13.11 we illustrated one optimizing point for a firm. This point shows the optimal (least cost) combination of inputs for a fixed level of output.

However, we know that there exists an optimal combination for every level of output the firm might choose to produce, and the proportions in which the inputs are combined need not necessarily be the same for all levels of output. To examine several optimizing points at a time we use the expansion path.

The expansion path shows the way in which factor proportions change in response to output changes, with the factor-price ratio remaining unchanged. In Fig. 13.12 the curves Q 0 – Q 1 and Q 2 are isoquants depicting a representative production function.

The isocost lines KL, K'L' and K”L” represent the minimum costs of producing each of the three output levels, since they are tangent to the respective isoquants. Since we do not assume any change in the factor-price ratio up to this stage, these isocost lines are parallel.

Look at the three optimum points, A, B, and C. Since at each of these:

(1) Factor prices remain constant, and

(2) The MRTS is equal to the factor-price ratio, it follows that the marginal rates of technical substitution are equal at A, B, and C.

Therefore, the expansion path, OS, is a locus of points along which the MRTS is constant and equal to the factor price ratio. But it is a curve having a special feature: It is the locus along which output will expand when factor prices are constant. We may accordingly suggest a definition.

The expansion path is the curve along which the firm expands (or contracts) output when factor prices remain constant. It indicates how factor proportions change when output (or expenditure) changes, factor prices remaining unchanged.

It shows output expansion effect which is similar to income effect (studied in the theory of consumer demand). Since it is made up of points of efficient (least cost) input combinations, the expansion path is the locus of efficient combinations of the inputs. On the expansion path, the MRTS remains constant, since the factor-price ratio is constant.

The expansion path gives the firm its cost structure. In fact, the long-run total cost curve is derived from the expansion path. The expansion path shows the optimal (least-cost) combination of inputs to be used to produce each level of output.

The sum of the quantities of each input used, times the respective input price, gives the minimum cost of producing every level of output. This is turn allows us to relate cost to the level of output produced.

Changes in Relative Prices :

We have derived the expansion path under only one set of input prices. But, it should be clear that change in relative input prices change the expansion path and hence the cost structure. For example, consider first the expansion path OS shown in Fig. 13.13.

The relative price of capital and labour is given by the slope of KL, K'L', K”L”. The tangencies of these isocost lines to isoquants Q 0, Q 1 and Q 2 indicate the optimal quantities of capital and labour used to produce each of these three levels of output and OS, of course, gives the optimal combination for every level of output over the range.

Now, suppose the price of labour (or wage rate) increases relative to the price of capital (or the rate of interest). Since the ratio w/r increase, the isocost lines become steeper. These new isocost lines are shown as ZF, Z'F' and Z” F”. Now the tangency on each isoquent occurs at a smaller quantity of labour and a large quantity of capital.

These new optimal combinations indicate that the firm substitutes capital for labour to produce each level of output when the price of labour rises relative to the price of capital. This is called the input (factor) substitution effect. It results from a change in factor prices. So the new expansion path, OR, is established and it shows the new optimal combination of inputs for each level of output.

Further changes in factor prices would lead to further factor substitution. The direction of substitution depends upon the nature and direction of the relative change in factor prices. If the price of labour rises relative to the price of capital, the firm substitutes capital for labour at each level of output, and production process becomes more capital intensive (eg, tractorisation in agriculture or computerisation in industry).

If the price of capital rises relative to the price of labour, the firm substitutes labour for capital (eg, manual operation of petro pumps in place of power-driven machines). Firms will always substitute away from the input that becomes relatively expensive towards the input that becomes relatively cheap.

So long we have focused on production under variable proportions. But, a production function could also be characterized by production under fixed proportions. For example, if 2 units of labour and 5 units of capital are necessary to produce 100 units of output, 200 units of output require 4 of the labour and 10 of capital, 300 units require 6 of labour and 15 of capital, and so on. If labour is limited to 2 units, no matter how much capital is added beyond 5 units, only 100 units of output can be produced. In this case the capital to labour ratio, K/L is always 5/2, regardless of the level of output.

All fixed proportions production functions are characterized by a constant factor proportion (or K/L ratio) at every output level. In this fixed factor proportion case, the isoquants will be L-shaped and the expansion path is a straight line through the origin.

This means that if labour remains at a given level while capital is increased, no more output can be produced. Neither can an increase in labour raise output if the stock of capital remains unchanged. It, therefore, follows that no matter what the ratio of input prices is, the firm uses the same combination of inputs to produce each given level of output. In this case the input substitution effect is absent.

مرونة استبدال العامل :

A complex concept, the elasticity of substitution, is a property of production function. It is a measure of the ease or difficulty of substituting capital for labour in response to a change in the ratio of the prices of labour and capital. In some production functions the elasticity of substitution is assumed to be unity; many empirical studies (such as those made by Cobb and Douglas) have also shown values close to unity.

This implies that a 1% increase in the ratio of the price of labour to the price of capital causes a 1% increase in the capital-labour ratio. The elasticity of substitution is also important in an analysis of the relative shares of labour and capital in the national product (income).

Mathematical Note :

The slope of the isoquant indicates the substitutions that, if made, will leave output unchanged. Hence the slope of the isoquant through any point becomes

The numerical value of this slope is termed the marginal rate of substitution of the services of factor L for those of factor K and reflects the relative ease of substituting the services of factor L for those of factor K. The relative change in the marginal rate of substitution is called the elasticity of substitution. The elasticity of substitution may be expressed as

Finally, assuming that the ratio of factor prices is equal to the ratio of marginal products, we get

Thus, the elasticity of substitution, as defined by Sir John Hicks, is a measure of the relative change in the factor proportion divided by the relative change in factor-price ratio.

Returns to Scale :

In the short run we study the returns to a factor. In the long-run we study returns to scale. In the long-run all factors are variable and it is possible to change the scale of production of the business firm.

We may now consider the effect of a proportionate increase in all inputs, on the level of output produced. For example, if we were to double both K and L inputs, output would surely increase but we do not know by how much. To answer this question, we need the concept of returns to scale.

Let us consider an increase in the usage of all inputs by a proportion a. If output increases exactly by the same proportion, the production function is said to exhibit constant returns to scale.

If, however, output increases by more than a, production function is said to exhibit increasing returns to scale. Alternatively, if output increases by less than a, the production function is said to be characterized by decreasing returns to scale.

These relations can be illustrated, using Fig. 13.14. We start with an arbitrary level of usage of capital and labour at K 0 and L 0 . This combination of capital and labour produces some level of output, Q 0 = 100 units. Now, we double our level of inputs to 2K 0 and 2L 0 and, as a result, output increases to Q 1 .

If Q 1 is exactly equal to 200, this is a case of constant returns to scale. If Q 1 is greater than 200 units (say, 215), there is increasing return to scale. Finally, if Q 1 is less than 200 units (say, 180) the production function is said to exhibit decreasing returns to scale.

The returns to scale may be treated more analytically by expressing the production relation in functional form as

Q = ƒ(L, K).

Suppose we increase the inputs by a constant proportion (say, a) and output gets multiplied by αn. Then we have

αnQ = ƒ(α L, αK).

Here α and αn represent increases in the scale of operation and level of output, respectively. We have noted, in the case of constant returns to scale, if inputs are increased by a given proportion, output rises by the same proportion, that is, αn= a.

More generally, if all inputs are increased by a factor a and output gets multiplied by a factor of αn then a firm experiences:

1. Increasing returns to scale if n > 1, in which case αn > α (output goes up proportionately more than the increase in input usage).

2. Constant returns to scale if n = 1, or αn = α (output goes up by the same proportion as the increase in input usage).

3. Decreasing returns to scale if n < 1, or αn < α (output goes up proportionately less than the increase in input usage).

Returns to Scale and Cost Behaviour :

An intuitive understanding of the concepts of increasing, constant and decreasing returns to scale can be developed by looking at Fig. 13.15. Suppose we start with a given capital/labour ratio of K 1 /L 1, which is the same in all the three panels.

The question to be answered about returns to scale is: How much do we have to increase the two inputs, capital and labour, in order to keep on doubling the rate of output from Q 0 to Q 1, Q 2 to Q 2, and Q 2 to Q 3 .

In panel (a) of Fig. 13.15, increasing returns to scale is illustrated. This can be verified by comparing the respective distances between the isoquants along the ray emanating from the origin. We know that along any ray from the origin, the ratio of the two inputs remains constant.

Since here we are interested in analysing the case of proportional changes in all inputs, we have only to compare the distances between the isoquants as measured along the ray from the origin. The rays through the origin in all the three panels have equal slope.

In panel (a) the distance along the ray from the origin to the first isoquant (Q 0 ) exceeds the distance between the first isoquant (Q 0 ) and the second isoquant (Q 1 ), which exceeds the distance between the second (Q 1 ) and the third (Q 2 ), and so on. Thus, it is possible to double output by less than doubling of inputs.

Panel (b) illustrate the case of constant returns to scale. In this case the distance along the ray between any two successive isoquants remains unchanged, suggesting a proportionate increase in both inputs and output. Differently put, a doubling of the inputs will lead to a doubling of output.

Panel (c) shows decreasing returns to scale. The distance between successive isoquants gets larger and larger for proportionate increases in inputs. That is, the production process demands more than a doubling of all inputs in order to exactly double the level of output.

Because all inputs have a cost, the long-run concept of returns to scale has significant implications for the behaviour of the long-run cost curve, and these results are shown in panels (a'), (b'), (c') in Fig. 13.15. We shall deal more completely with the linkage between returns to scale and long-run costs. Here, Fig. 13.15 highlights the nature of the inverse relationship between productivity and cost.

Thus, constant returns in panel (b) leads to linear total cost curve in panel (b') – constant cost per unit. In like manner, increasing returns in panel (a) results in total costs in panel (a') growing at a decreasing rate, that is, continuously declining cost per unit. Finally, decreasing returns in panel (c) leads to a total cost curve in panel (c') with a constantly increasing slope, or constantly increasing cost per unit.

Reasons for Increasing and Decreasing Returns to Scale :

There are various variables that might account for the phenomenon of increasing returns to scale. As a firm expands the scale of its operation, opportunities for increased specialization in the use of resource inputs normally occur. This point was first made by Adam Smith in his The Wealth of Nations where he analysed the production process in a pin factory.

Rather than each worker making a complete pin, increased output allows workers to divide up tasks into separate activities, such as drawing the wire and forming the pin.

Transportation costs are also likely to be affected by the size of the firm. Typically, transportation costs are related to the size of the market. Transportation costs do not double when the size of the market gets doubled. Firms can also take advantage of large-scale equipment due to indivisibility of factors.

As noted by Bails and Peppers, “a construction firm may be able to utilize more fully larger and more efficient equipment, than would a smaller construction firm. The most probable explanation for decreasing returns to scale is that there are limits to the effective management of larger and larger production units. As the layers of management increase, lines of communication become blocked and the ability to make prompt management decisions hindered”.

Economies of Scope :

Economies of scope exist for multiple products when the cost of joint production is less than the cost of producing each output separately. In other words, as Pappas and Brigham have put it, “a firm will produce products that are complementary in the sense that producing them jointly is less costly than individual production”.

This concept explains best why firms produce multiple rather than single products. This new concept forces management to consider both direct and indirect benefits associated with individual lines of business. For example, on a product line basis, some firms offer products as a “loss leader”.

Economies of scope assume added significance of late because they permit a firm to translate superior skill or productive capability in a given product line into unique advantages in the production of complementary products.

In terms of business policy, this suggests that an effective competitive strategy would be one emphasizing the development or extension of product lines related to a firm's well established products.

For example, USA's Pepsi Co. Inc., has long been a leader in the soft drink world. Over an extended period of time, the Company has gradually broadened its product line to include various brands of snack food like corn chips.

This product line extension strategy was effective because it capitalized on the product development capabilities, distribution network, and marketing skills developed by the firm in its soft drink business. This has led to considerable cost saving.

In this context, Pappas and Brigham have commented that “the economies of scope concept plays an important role in managerial decision making because it offers a useful means for evaluating the potential of current and prospective lines of business. It naturally leads to a definition of those areas in which the firm has a comparative advantage and thus its greatest profit potential”.

Testing Production Functions for Returns to Scale :

Fig. 13.16 illustrates the generalized relationship between the level of output and the level of input usage (with the factor mix of labour to capital held constant). It is possible to identify returns to scale.

Suppose that we start with the following production function:

Q = f(X 1, X 2, X 3 ). (1)

Furthermore, suppose that we multiply each input by a constant a. Due to the proportionate increase in all inputs, output will increase by some proportion, which, by convention, we will call A.

In terms of the above production function we get:

λQ = ƒ(αX 1, aX 2, aX 3 ).

To test production functions for returns to scale, all that is necessary is to compare the value of There are various variables that might account to the value of λ:

1. If λ> α, the production function exhibits increasing returns to scale.

2. If λ< α, the production function exhibits decreasing returns to scale.

3. If λ= α, the production function is characterized by constant return to scale.

For example, suppose that the following production function has been estimated as:

Q = 7X 1 +4X 2 + 0.3X 3 . (3)

Furthermore, suppose that the initial values of the inputs are X 1 = 2, X 2 = 1, and X 3 = 3. Based on these initial input values, total production would be

Q = (7)(2) + (4)(1) + (0.3)(3) = 18.9. (4)

Now suppose that we double the inputs to 4, 2 and 6, respectively. On the basis of these new input values, output becomes

Q = (7) (4) + (4)(2) + (.3)(6) = 37.8. (5)

In this case a doubling of inputs (α = 2) leads to an exact doubling of output (λ = 2). Thus, the original production function is characterized by constant returns to scale (λ =α).

Alternatively, consider the production function given below

Q = 2 K2 + 6KL. (6)

If the initial values of K and L are 1 and 2, respectively, then total output is 14. If both inputs were doubled (α = 2), output would increase to 56(λ = 4). Output has quadrupled, indicating a production function exhibiting increasing returns to scale (λ > α).

The Degree of Homogeneity of a Production Function :

If the constant term a can be factored out of the production function, the function is said to be homogeneous of degree n. For example, if the production function given in Eq. (7) is multiplied by the factor α, we obtain

Since α can be factored out of Eq. (7), and a in Eq. (8) has an exponent of 1, the production function in Eq. (8) is said to be homogeneous of degree one.

The general procedure of determining the homogeneity of a production function is to utilize the following scheme and thus evaluate αn:

1. If n > 1, we have increasing returns to scale.

2. If n < 1, we have decreasing returns to scale.

3. If n = 1, we have constant returns to scale. For example, suppose the estimated production function is

Because the exponent of α 0.58, is less than 1, the production function is characterized by decreasing returns to scale.

Elasticity of Production :

An alternative procedure for testing for the presence of returns to scale is to examine the elasticity of production, a concept introduced earlier. Because returns to scale is a relative measure – a comparison of the percentage increase in output usage relative to the percentage increase in all inputs – it corresponds

to an elasticity of production measure. If the elasticity of production coefficient exceeds 1, the production function shows increasing returns to scale; if it equals 1, there are constant returns to scale; and if it is less than 1, there are decreasing returns to scale.

 

ترك تعليقك