نظرية التفضيل المكشوفة (مع مخطط)

في هذه المقالة سوف نناقش حول نظرية التفضيل الموضح (RPT) التي طرحها الأستاذ. سامويلسون.

مفهوم التفضيل المكشوف :

ابتكر البروفيسور صامويلسون مقاربة بديلة لنظرية سلوك المستهلك ، والتي ، من حيث المبدأ ، لا تتطلب من المستهلك تقديم أي معلومات عن نفسه.

إذا لم تتغير أذواقه ، فإن هذه النظرية ، المعروفة باسم نظرية التفضيل المكشوف (RPT) ، تسمح لنا بمعرفة كل ما نحتاج إلى معرفته فقط من خلال مراقبة سلوكه في السوق ، من خلال رؤية ما يشتريه بأسعار مختلفة ، على افتراض أن عمليات الاستحواذ الخاصة به وشراء الخبرات لا يغير أنماط تفضيله أو رغبات شرائه.

بالنظر إلى ما يكفي من هذه المعلومات ، فمن الممكن نظريًا إعادة بناء خريطة لامبالاة المستهلك.

يستند صمويلسون إلى معاهدة RPT إلى فكرة بسيطة إلى حد ما. سوف يقرر المستهلك شراء مجموعة معينة من العناصر إما لأنه يحبها أكثر من المجموعات الأخرى المتوفرة له أو لأنها رخيصة الثمن. دعونا نفترض أننا نلاحظ أن مجموعتين من البضائع المعروضة للبيع ، يختار المستهلك شراء A ، ولكن ليس B.

نحن لسنا في وضع يتيح لنا أن نستنتج أنه يفضل A إلى B ، لأنه من الممكن أيضًا أن يشتري A ، لأن A هي المجموعة الرخيصة ، وكان في الواقع سيكون أكثر سعادة إذا حصل على B. ولكن قد تكون معلومات السعر قادرة على إزالة هذا الغموض.

إذا أخبرتنا علامات أسعارها أن A ليست أرخص من B (أو ، B ليست أغلى ثمناً من A) ، فهناك تفسير واحد معقول فقط لاختيار المستهلك - لقد اشترى A لأنه أحب ذلك بشكل أفضل.

بشكل أعم ، إذا اشترى المستهلك مجموعة من السلع ، A ، بدلاً من أي من المجموعات البديلة B و C و D وإذا تبين أن أيا من المجموعات الأخيرة أغلى من A ، فإننا نقول أن A كشف المفضل للمجموعات B و C و D أو أن B و C و D قد كشفت أدنى من A.

لذلك ، إذا اشترى المستهلك المجموعة E 1 (x 1 ، y 1 ) للبضائع X و Y ولم يشتري التركيبة E 2 (x 2 ، y 2 ) بالأسعار (p1 x ، p1 y ،) من البضائع ، ثم يمكننا أن نقول أنه يفضل الجمع بين E 1 إلى الجمع E 2 ، إذا حصلنا عليه

يمكن العثور على المجموعة الكاملة من مجموعات البضاعة X و Y التي تم الكشف عن تركيبة معينة المفضلة فيها بمساعدة خط سعر المستهلك. لنفترض أن حد ميزانية المستهلك هو L 1 M 1 في الشكل 6.104 ولاحظ أنه يشتري المجموعة E 1 (x 1 ، y 1 ) التي تقع على هذا الخط.

الآن ، نظرًا لأن تكاليف جميع المجموعات التي تقع على باب الميزانية هي نفسها كما في E 1 وبما أن تكاليف جميع المجموعات الموجودة أدناه وعلى يسار بند الميزانية أقل من E 1 ، فإننا قد يقول أنه تم الكشف عن E 1 المفضل لجميع المجموعات التي تقع على أو تحت حد ميزانية المستهلك.

مرة أخرى ، نظرًا لأن تكاليف المجموعات التي توجد أعلاه وعلى يمين بند الميزانية أعلى من تكلفة E 1 ، لا يمكننا القول أن المستهلك يفضل E 1 على هذه المجموعات عندما يُلاحظ أنه يشتري E 1 ، لأنه هنا E 1 هو مزيج أرخص.

يجب أن نلاحظ هنا الفرق بين "التفضيل" و "التفضيل المكشوف". الجمع "أ " مفضّل على " ب" يعني أن المستهلك يصنف "أ" قبل "ب".

ولكن A "فضل فضل على B" يعني A يتم اختياره عندما تكون B في متناول الجميع (لا أكثر تكلفة). في نموذج سلوك المستهلك الخاص بنا ، نفترض عمومًا أن الأشخاص يختارون أفضل مجموعة يمكنهم تحملها والتي تكون الخيارات التي يتخذونها مفضلة على الاختيارات التي قد يتخذونها. بمعنى أنه إذا تم الكشف عن (x 1 y 1 ) مباشرةً مفضل على (x 2 ، y 2 ) ، فسيفضل (x 1 ، y 1 ) في الواقع (x 2 ، y 2 ).

دعنا نذكر الآن مبدأ RP بشكل أكثر رسمية:

دعنا نفترض ، أن المستهلك يشتري المجموعة (x 1 ، ص 1 ) حسب السعر المحدد (p ' x ، P' y ) ، ولنفترض أيضًا أن التركيبة الأخرى هي (x 2 ، y 2 ) ، بحيث p x 1 + p ' y y 1 ≥ p' x x 2 + p ' y y 2 . الآن ، إذا اشترى المستهلك المجموعة الأكثر تفضيلًا وفقًا لقيود ميزانيته ، فسوف نقول أن التركيبة (× 1 ، ص 1 ) هي المفضلة بدقة في الجمع (× 2 ، ص 2 ).

الافتراضات :

بمساعدة مبدأ بسيط من RP ، قد نبني نظرية قوية لطلب المستهلكين. الافتراضات التي سنقوم بها هنا هي:

(ط) يشتري المستهلك ويستخدم سلعتين فقط (X و Y). الكميات x و y من هذه البضائع متغيرات مستمرة.

(2) كلتا السلعتين من نوع MIB (الأحدث هو الأفضل). يُعرف هذا الافتراض أيضًا باسم افتراض الرتابة. هذا الافتراض يعني أن المرحلية المرحلية للمستهلك سالب.

(3) تفضيلات المستهلك محدبة بدقة. هذا الافتراض يعني أن الشهادات المرحلية للمستهلك ستكون محدبة للأصل ، مما يعني مرة أخرى أنه سيتم الحصول على نقطة واحدة فقط (نقطة التماس) على بند ميزانية المستهلك الذي سيتم اختياره من قبله على جميع الخيارات الأخرى المعقولة مجموعات.

هذا الافتراض مهم جدا. على أساس هذا الافتراض ، سوف نحصل على علاقة فردية بين وضع دخل السعر للمستهلك أو خط الميزانية واختيار توازنه - بالنسبة لأي بند محدد من ميزانية المستهلك ، سيتم الحصول على توازن واحد فقط مزيج من البضائع ولكي يكون أي تركيبة توازنًا ، سيتم الحصول على بند ميزانية واحد فقط.

(4) الافتراض الرابع لنظرية RP يعرف باسم البديهية الضعيفة لـ RP (WARP). نحن هنا نفترض أنه إذا اختار المستهلك المجموعة E 1 (x 1 ، y 1 ) على تركيبة أخرى ميسورة التكلفة E 2 (x 2 ، y 2 ) في موقف دخل سعر معين ، فلن يختار تحت أي ظرف من الظروف E 2 E 1 إذا كانت E 1 ميسورة التكلفة.

بمعنى آخر ، إذا تم الكشف عن تركيبة E 1 مفضلة على E 2 ، فلا يمكن الكشف عن E 2 تحت أي ظرف من الظروف تحت E 1 .

(v) الافتراض الخامس لنظرية RP يُعرف باسم البديهية القوية لـ RP (SARP). وفقًا لهذا الافتراض ، إذا كشف المستهلك ، في حالات مختلفة من دخل السعر ، عن التركيبة E 1 على النحو المفضل بالنسبة إلى E 2 ، E 2 إلى E 3 ، ... ، E k-1 إلى E k ، فسيتم الكشف عن E1 المفضل إلى E k و E k لن يتم كشفهما أبداً (في ظل عدم وجود وضع دخل إلى السعر) مفضلين على E 1

التفضيل الموضح - المباشر وغير المباشر :

إذا كان RP مقصورًا على مجموعتين فقط من البضائع ، E 1 و E 2 ، وإذا تم الكشف عن E 1 (x 1 ، y 1 ) في حالة معينة من دخل السعر ، يفضل الجمع بين E 2 (x 2 ، y 2) ) ، ثم يقال أن E 1 يتم كشفه مباشرة ويفضل أن يكون E 2 .

ولكن إذا تم النظر في التفضيلات لأكثر من مجموعتين وإذا تم تحديد التفضيلات عن طريق عبور RP ، فهذه هي حالة التفضيل الذي تم الكشف عنه بشكل غير مباشر. على سبيل المثال ، إذا تم الكشف عن E 1 مفضل على E 2 ، ... ، E k-1 إلى E k ، ثم بواسطة SARP ، نقول E 1 يتم الكشف عنها بشكل غير مباشر مفضلة لـ E k .

انتهاك WARP :

دعونا ننظر في الشكل 6.105. دعنا نفترض هنا أنه في ظل وضع دخل الأسعار الذي يمثله بند الميزانية L 1 M 1 ، يقوم المستهلك بشراء المجموعة E 1 (x 1 ، y 1 ) وأنه يكشف عن المجموعة E 1 (x 1 y 1 ) على النحو المفضل E 22 ، ص 2 ).

لأنه هنا يختار E 1 على المجموعة الميسورة E 2 . مرة أخرى ، دعنا نفترض أنه عندما يتغير خط ميزانية المستهلك من L 1 M 1 إلى L 2 M 2 ، يشتري المستهلك المجموعة E 2 (x 2 ، y 2 ) ، على الرغم من أنه كان بإمكانه الحصول على المجموعة الميسورة التكلفة E 1 (x 1 ، y 1 ) ، أي تحت L 2 M 2 ، يتم الكشف عن E 2 المفضل على E 1 .

ما رأيناه هنا هو أنه ضمن بند الميزانية ، L 1 M 1 ، يتم الكشف عن المجموعة E 1 مفضلة على E 2 وتحت بند ميزانية مختلف L 2 M 2 ، يتم الكشف عن E 2 مفضلة على E 1 . من الواضح أن المستهلك هنا ينتهك WARP.

قد يكون سبب هذا الانتهاك هو أن المستهلك هنا لا يحاول الحصول على المجموعة الأكثر تفضيلًا وفقًا لقيود ميزانيته ؛ أو ، قد يكون ذوقه أو بعض العناصر الأخرى في بيئته الاقتصادية قد تغيرت والتي كان ينبغي أن تبقى دون تغيير من افتراضاتنا.

الآن ، بغض النظر عن سبب انتهاك WARP ، فإن هذا الانتهاك لا يتوافق مع نموذج سلوك المستهلك الذي نناقشه.

يفترض النموذج أن المستهلك يريد زيادة مستوى رضائه إلى الحد الأقصى ، ولهذا السبب ، عندما يختار تركيبة معينة ، على سبيل المثال ، E 1 خاضعًا لميزانيته ، يجب أن يكون هذا "الأكثر تفضيلًا" لجميع المجموعات الأخرى ذات الأسعار المعقولة ، و لا يمكن تفضيل أي من هذه المجموعات "الأخرى" على E 1 ضمن ميزانية مختلفة. WARP يركز على هذه النقطة البسيطة ولكنها مهمة. قد نعطي البيان الرسمي لـ WARP بالطريقة التالية.

إذا تم الكشف عن تركيبة معينة E 1 (x 1 y 1 ) مباشرة من قبل المستهلك على النحو المفضل لمجموعة مختلفة E 2 (x 2 ، y 2 ) ، فلن يتم الكشف عن E 2 من قبل المستهلك على النحو المفضل على E 1 .

بمعنى آخر ، إذا لوحظ أن المستهلك يشتري E 1 (x 1 ، y 1 ) عند السعر المحدد (p x (1) ، p y (1)) و E 2 (x 2 ، y 2 ) بالسعر اضبط (p x (1) ، p y (2)) ، ثم إذا (6.138) أدناه معلقة ، فلن يحتفظ (6.139) أبدًا:

كما رأينا ، تم انتهاك WARP في الشكل 6.105 ، عندما يشتري المستهلك المجموعة E 1 على L 1 M 1 و E 2 على L 2 M 2 . هنا ينهار ترتيب تفضيل المستهلك. قد يتم التحقق من ذلك في الشكل 6.105 من أن مظلل IC إلى L 1 M 1 عند E 1 وأن يكون تعاقد IC إلى L 2 M 2 عند E 2 غير متقاطع في هذه الحالة.

في الشكل 6.106 ، من ناحية أخرى ، دعونا نفترض أن المستهلك يشتري المجموعة E 1 على L 1 M 1 والجمع E 2 على L 2 M 2 . هنا عندما يشتري E 1 ، يختار E 1 على المجموعة الميسورة E 2 ، أي أن E 1 مفضّل على E 2 . ولكن عندما يشتري E 2 ، فإنه يختار E 2 على E 1 لا يمكن تحمله ، أي E 2 لا يتم الكشف عنه ويفضل E 1 .

لذلك ، هنا ، لا يتم انتهاك WARP ، وهنا ، لا ينهار ترتيب تفضيل المستهلك. يمكن أن نرى في الشكل 6.106 أن مظلل IC إلى L 1 M 1 في E 1 وشكل IC إلى L 2 M 2 عند E 2 لن يكونا متقاطعين.

أهمية SARP :

دعونا الآن نناقش أهمية البديهية القوية للتفضيل المكشوف (SARP). وفقًا لهذه البديهية ، إذا كشف المستهلك عن تركيبة E 1 (x 1 ، y 1 ) كما هو مفضل على تركيبة أخرى E 2 (x 2 ، y 2 ) وإذا تم الكشف عن E 2 (x 2 ، y 2 ) مفضل على E 3 (x 3 ، y 3 ) ثم E ، سيتم الكشف عنها مفضّلة على E 3 .

قد يطلق على ذلك ترانزيت التفضيلات المكشوفة. الآن ، إذا كان المستهلك هو تعظيم المنفعة ، فإن عبور التفضيلات المكشوفة سيؤدي إلى عبور التفضيلات - إذا تم تفضيل E 1 على E 2 و E 2 إلى E 3 ، فسيفضل E 1 على E 3 .

ولكن هذا ضروري للتأكد من أن ICs غير متقاطعة وأن ICs غير المثيرة للاهتمام ضرورية للوصول إلى حل تعظيم المنفعة. من الواضح أنه في حالة انتهاك أيٍ من WARP و SARP ، فلا يمكن للمستهلك تحقيق الحد الأقصى من الفائدة.

كشفت نظرية التفضيل ونظرية سلوتسكي :

دعونا الآن نرى كيف يمكن استخدام RPT لإثبات نظرية Slutsky التي تنص على أنه إذا تم تجاهل تأثير الدخل (IE) لسلعة ما ، فإن منحنى الطلب يجب أن يكون له ميل سلبي. لشرح هذا ، سنأخذ مساعدة من الشكل 6.107.

في هذا الشكل ، اسمح لـ E 1 (x 1 ، y 1 ) بمزيج من البضائع التي يشتريها المستهلك في البداية عندما يكون حد ميزانيته L 1 M 1 . نريد أن نبين هنا أن انخفاض قيمة paribus في سعر X الجيد من L 1 M 1 سيزيد من شراء السلعة إذا تجاهلنا تأثير الدخل ، أي إذا نظرنا فقط في تأثير الإحلال (SE).

لنفترض أن حد الميزانية التخيلية لـ Slutsky-SE هو L 2 M 2 . سيكون هذا الخط أكثر تمزيقًا من L 1 M 1 ، نظرًا لأن سعر X انخفض ، مع افتراض ثبات الحالة ، وسيمر هذا الخط (L 2 M 2 ) من خلال المجموعة E ، بحيث وفقًا لحالة Slutsky ، فإن المستهلك قد تكون قادرة على شراء المجموعة الأولية ، إذا كان يحب ، في ظل الظروف المتغيرة.

دعنا الآن نرى ، نظرًا ل SE ، أن النقطة التي قد يختارها المستهلك في بند الميزانية التخيلية L 2 M 2 (إذا كان يجب أن يكون مختلفًا عن E) ، ستكون نقطة مثل E 2 على يمين النقطة E 1 . لإثبات أن هذا يجب أن يكون كذلك ، يجب أن نلاحظ أن اختيار أي نقطة على L 2 M 2 مثل E 3 التي تقع على يسار E 1 ، تم استبعاده من قبل WARP.

هذا لأنه ، في البداية ، تم الكشف عن E 1 مفضل على E 3 ، حيث تقع E 3 تحت L 1 M 1 . ولكن إذا تم اختيار E 3 عندما كان خط السعر L 2 M 2 ، فقد تم توضيح أنه (E 3 ) مفضل على E 1 لأن E 1 ليس أكثر تكلفة من E 3 (لأن كلاهما يقع على نفس خط الميزانية L 2 م 2 ). في هذه الحالة ، نحصل على كشف E1 المفضل على E 3 ، والعكس صحيح ، الذي ينتهك WARP.

وبالتالي لا توجد نقطة على L 2 M 2 والتي ، مثل E 3 ، تقع على يسار E 1 ، يمكن اختيارها. من ناحية أخرى ، إذا اختار المستهلك نقطة مثل E 2 على L 2 M 2 إلى يمين E 1 ، فلا ضرر على البديهية الضعيفة ، لأنه عندما يشتري E 2 ، يتم الكشف عن E 2 ويفضل توليفة غير مكلفة E 1 ولكن ، في البداية ، عندما اشترى E 1 (على L 1 M 1 ) وليس نقطة مثل E 2 ، فعل هذا ، لأن E 1 كان أرخص من هذه النقاط.

من التحليل ، من الواضح أن SE الخاص بهبوط سعر X سيزيد بشكل عام من الطلب على السلعة X الأقل تكلفةً عند نقطة مثل E 2 على يمين E 1 . وهكذا ، فإن نظرية Slutsky يتم استنتاجها من نهج التفضيل الموضح.

لقد رأينا أنه إذا انخفض سعر X ، مع افتراض ثبات ، وإذا تم تجاهل تأثير دخل انخفاض السعر هذا ، فإن SE سوف تزيد الطلب على X ، أي أن منحنى الطلب على X سيكون منحدر سلبًا ، يتم الحصول على قانون الطلب.

من التفضيل المكشوف إلى التفضيل:

مبدأ التفضيل المكشوف (RP) بسيط إلى حد ما ، ولكنه في نفس الوقت قوي للغاية. بدعم من الافتراضات التي قطعناها على أنفسنا ، تمكننا RPT من الحصول على نمط تفضيل المستهلك أو منحنيات اللامبالاة (ICs) من تفضيلاته الموضحة.

لا توجد بيانات استطلاعية مطلوبة من المستهلك لتحقيق هذه المهمة. إذا علمنا وضع دخل السعر للمستهلك كما هو موضح في بند ميزانيته ونقطة تفضيله الموضحة على السطر ، فسنكون قادرين على اشتقاق IC الخاص به الذي يمر عبر هذه النقطة. موصوفة عملية الحصول على IC أدناه.

دعنا نفترض أن حد ميزانية المستهلك هو L 1 M 1 في الشكل 6.108 وأن توليفة البضائع التي يلاحظ المستهلك شراءها هي E 1 (x 1 ، y 1 ). كما نعلم ، فإن المستهلك هنا يفضل النقطة E ، مباشرة على جميع النقاط الأخرى على خط الميزانية أو في منطقة OL 1 M 1 . لأنه على الرغم من أن كل هذه النقاط ضمن ميزانيته ، فإنه يشتري E 1 . تعتبر "كل هذه النقاط" "أسوأ" من E 1 .

من ناحية أخرى ، فإن تكاليف كل المجموعات التي تقع على يمين بند الميزانية L 1 M 1 أكبر من تكلفة النقطة E 1 ، أو ، E 1 أرخص من هذه النقاط. من الواضح أن المستهلك يختار E 1 على هذه النقاط لأنها أغلى ثمناً ، ولا يمكننا قول أي شيء عن تفضيل "E" المكشوف لـ E 1 لأي من هذه النقاط.

لهذا السبب ، تُعرف المساحة الموجودة في فضاء السلع الواقع على يمين L 1 M 1 بأنها منطقة الجهل. ومع ذلك ، سنرى ، بمساعدة من افتراضات RPT ، أن بعض النقاط في مجال الجهل مفضلة أو غير مباشرة أو أقل من E 1 وأن بعض النقاط غير مبالية بـ E 1 .

هذه النقاط الأخيرة غير المبالية بـ E 1 تعطينا منحنى اللامبالاة (IC) الذي يمر عبر E 1 ، دعونا الآن نرى كيف يمكننا اشتقاق هذا المنحنى.

في البداية ، دعونا ننظر في المنطقة K 1 E 1 B 1 . مجموعات السلع (باستثناء E 1 ) التي تنتمي إلى هذه المنطقة مفضلة بشكل مباشر للمستهلك على E 1 ، لأن كل هذه المجموعات تحتوي على أكثر من واحد أو كليهما من البضائع أكثر من النقطة E 1 . يمكن تسمية هذه المجموعات بتركيبات "أفضل" .

لقد حصلنا حتى الآن على أن المستهلك يفضل بشكل مباشر E 1 على النقاط الموجودة على يسار خط الميزانية L 1 M 1 ، أي أولئك الذين يرقدون في المنطقة OL 1 M 1 وأنه يفضل مباشرة النقاط التي تقع في المنطقة K 1 E 1 B 1 إلى E 1 . لذلك ، فإن IC الخاص به من خلال النقطة E 1 إذا تم الحصول عليها ، سوف ينتشر في الفضاء بين هذين المجالين ، وسوف يمس الخط L 1 M 1 والمنطقة K 1 E 1 B 1 عند النقطة E 1 .

دعونا الآن نأخذ بعين الاعتبار النقاط الموجودة في منطقة الجهل الموجودة فوق الخط L 1 M 1 وخارج المنطقة K 1 E 1 B 1 . في البداية ، سنحاول تحديد النقاط التي يفضلها المستهلك بدرجة أقل على E1 - هذه النقاط يمكن أن تسمى النقاط "الأسوأ". من أجل القيام بذلك ، دعونا نفكر في أي نقطة E 2 ملقاة على L 1 M 1 على يمين E 1 .

دعنا نفترض أن المستهلك قد لاحظ أنه يشتري E 2 عندما يكون حد ميزانيته L 2 M 2 . لذلك ، يكشف النقاب عن النقطة E 2 على النحو المفضل للنقاط على يسار بند الميزانية L 2 M 2 . منذ أن تم الكشف عن E 1 مفضل على E 2 ، يفضل المستهلك E 1 على كل هذه النقاط الموجودة في المنطقة OL 2 M 2 .

نظرًا لأن جزءًا من هذه المنطقة ، بمعنى ، □ OL 2 E 2 M 1 ينتمي إلى المنطقة OL 1 M 1 ، هنا يتم الحصول على الزيادة الصافية في منطقة النقاط "الأسوأ" لتكون □ E 2 M 1 M 2 . يفضل المستهلك E 1 بشكل غير مباشر على نقاط هذه المنطقة من خلال المجموعة E 2 - يفضل E 1 إلى E 2 و E 2 على هذه النقاط.

قد نزيد مرة أخرى مساحة النقاط "الأسوأ" إلى يمين E 1 من خلال النظر في أي نقطة أخرى E 3 ملقاة على الخط L 1 M 1 إلى يمين E 2 . دعنا نفترض أن المستهلك يشتري E 3 عندما يكون حد الميزانية هو L 3 M 3 . بمعنى أنه يكشف عن النقطة E 3 كما هو مفضّل على النقاط الموجودة في المنطقة OL 3 M 3 .

مرة أخرى ، نظرًا لأنه تم بالفعل الكشف عن E 1 مفضل على E 3 ، فقد يقال إنه يفضل E 1 على هذه النقاط في المنطقة OL 3 M 3 . هنا كانت الزيادة الصافية في مجال النقاط أسوأ من E 1 □ SM 2 M 3 . يفضل المستهلك E 1 بطريقة غير مباشرة (من خلال النقطة E 3 ) على النقاط في SM 2 M 3 .

لقد رأينا حتى الآن كيف يمكننا تقليل مساحة الجهل من خلال النظر في النقاط الموجودة في بند الميزانية L 1 M 1 على يمين E 1 . قد نقوم أيضًا بهذه المهمة من خلال النظر في النقاط على L 1 M 1 على يسار E 1 . دعونا نفترض أن E 4 هي أي نقطة في L 1 M 1 إلى يسار E 1 ويلاحظ أن المستهلك يشتري E 4 عندما يكون حد ميزانيته L 4 M 4 .

وبالتالي ، يتم الكشف عن النقطة E 4 مفضلة على النقاط الموجودة في المنطقة OL 4 M 4 . ولكن تم بالفعل الكشف عن النقطة E 1 ويفضل أن تكون النقطة E 4 وبالتالي فإن المستهلك يفضل E 1 على هذه النقاط. هنا ، إذا تركنا الجزء المشترك من المساحات OL 1 M 1 و OL 4 M 4 ، نحصل على أن المستهلك يفضل بشكل غير مباشر E 1 على نقاط 4 E 4 L 1 L 4 .

لذلك ، أصبح بإمكاننا الآن تقليل مساحة الجهل بمقدار □ E 4 L 1 L 4 . وبهذه الطريقة ، يمكننا المضي في تقليل مساحة الجهل من خلال النظر في المزيد من النقاط على L 1 M 1 التي تقع على يسار النقطة E 1 .

لقد قللنا حتى الآن من منطقة الجهل من خلال زيادة مساحة المجموعات "الأسوأ". قد نرى الآن كيف يمكننا زيادة مساحة المجموعات "الأفضل" خارج المنطقة K 1 E 1 B 1 وبالتالي تقليل مساحة الجهل. دعونا نفترض أن المستهلك يلاحظ شراء النقطة E 5 عندما يكون حد ميزانيته هو G 1 E 1 H 1 .

سيفضل المستهلك هنا جميع النقاط في المنطقة K 2 E 5 B 2 إلى النقطة E 5 ، نظرًا لأن هذه النقاط تحتوي على أكثر من سلعة أو كليهما. كما تبين الآن أن المستهلك يفضل E 5 إلى E 1 ، لأنه يختار E 5 على E 1 بأسعار معقولة. لذلك ، ما نحصل عليه هنا هو أن النقاط الموجودة في المنطقة K 2 E 5 B 2 هي "أفضل" من النقطة E 1 .

هنا ، إذا استبعدنا جزء □ K 2 E 5 B 2 الذي هو مشترك مع □ K 1 E 1 B 1 ، فقد وجدنا أن هناك زيادة صافية في مجال النقاط "الأفضل" ونقص صافي في منطقة الجهل - تتمثل هذه الزيادة الصافية في المنطقة الواقعة بين السطور K 2 E 5 و K 1 T و E 5 T.

مرة أخرى ، نظرًا لافتراضاتنا حول التفضيل المحدب و MIB ، يفضل المستهلك النقاط في □ E 1 E 5 T إلى E 1 . لذلك ، تتم إضافة هذه المنطقة أيضًا إلى منطقة المجموعات "الأفضل" ويتم تقليل مساحة الجهل وفقًا لذلك. قد نستمر في زيادة مساحة المجموعات "الأفضل" بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، يلاحظ المستهلك لشراء النقطة E 6 على بند الميزانية G 2 E 1 H 2 .

سنجد هنا أن مساحة النقاط "الأفضل" تحصل على زيادة في المنطقة الواقعة بين الخطين RB 1 RE 6 و E 6 B 3 بالإضافة إلى المنطقة E 1 E 6 R. لذلك ، تتم إضافة هذه المناطق أيضًا إلى المنطقة من مجموعات "أفضل" ويتم تقليل مساحة الجهل وفقا لذلك.

في الشكل 6.108 ، رأينا أنه بناءً على فكرة التفضيل المكشوف ، وبمساعدة الافتراضات المقدمة ، قد نستمر في زيادة مساحة التوليفات "الأسوأ" من تركيبة معينة E 1 من أسفل وقد نواصل أيضًا زيادة مساحة المجموعات التي تكون "أفضل" من E 1 من أعلى.

في الحد ، سيتم تقليل المساحة بين هاتين المنطقتين إلى منحنى خط الحدود من اللامبالاة. من خلال تطبيق الأساليب المتقدمة لحساب التفاضل والتكامل وأيضًا بشكل حدسي ، قد نحصل على أن منحنى اللامبالاة لدى المستهلك سيمر عبر النقطة E 1 ، ويقع بين المسارين مثل K 2 E 5 E 1 E 6 B 3 و L 4 E 4 E ، E 2 SM 3 وسيكون محدب إلى الأصل.

لقد رأينا كيف يمكننا الحصول على IC للمستهلك من خلال أي مجموعة معينة E 1 . بتطبيق نفس العملية ، قد نحصل على IC الخاص به من خلال أي نقطة أخرى في مساحة السلع ، أي أننا سنحصل على خريطة اللامبالاة الخاصة به.

دعنا نرى الآن بمساعدة الشكل 6.109 ، كيف يمكننا أن نستنتج بشكل حدسي أن الخط الحدودي بين المناطق "الأفضل" و "الأسوأ" من أي نقطة E 1 هو IC خلال تلك النقطة.

في الشكل 6.109 ، لقد أوضحنا أن مناطق التوليفات الأفضل والأسوأ من E 1 قد أحرزت للتقدم نحو بعضها البعض وفي الحد الأقصى ، تبدو الفجوة بينهما وكأنها IC ، وفي الواقع ، ستكون IC ، تمر من خلال E 1 يمكننا أن نفهم هذا بالطريقة التالية.

دعنا ننتقل رأسيًا من نقطة إلى أخرى في مساحة السلعة في الشكل 6.109 بدءًا من أي نقطة مثل N ، (x ° ، y 1 ) في منطقة التوليفات الأسوأ. عندما نتحرك للأعلى رأسياً ، تظل كمية X جيدة كما هي عند x 0 وتزداد كمية Y جيدة ، وفي النهاية بالقرب من حدود المنطقة "الأسوأ" سنصل إلى نقطة مثل N 2 (x ° ، ذ 2 ).

دعنا نفترض ، إذا كنا لا نزال نتحرك صعودًا إلى ما بعد N 2 بقليل ، فسوف نصل إلى النقطة N 3 (x ° ، y 3 ) في منطقة المجموعات "الأفضل". الآن يمكننا أن نفهم بسهولة أن هناك نقطة N * (x 0 ، y *) ، y 2 <y * <y 3 ، في الفجوة الرأسية الصغيرة اللانهائية بين النقطتين N 2 و N 3 والتي ليست أسوأ ولا أفضل من E 1 ولكن غير مبال مع E 1 .

لذلك ، إذا انضممنا للنقاط E 1 والنقاط مثل N * بواسطة منحنى ، فسنحصل على IC المطلوب من خلال E 1 .

منحنى اللامبالاة ، مؤشر الأفضلية وكلفة المعيشة :

دعونا أولا النظر في صيغتين مؤشر الأسعار. أحدهما هو صيغة لاسبير والآخر هو صيغة باسك. يمثل الرقم القياسي لسعر Laspeyre نسبة مجموعين - إجمالي أسعار السنة الحالية بكميات سنة الأساس وأسعار سنة الأساس بكميات سنة الأساس. لنفترض أن الفرد يشتري سلعتين.

أسعار سنة الأساس والسنة الحالية للسلع هي p 01 ، p 02 و p t1 ، p t2 . كما أن الكميات الأساسية للسنة والعام الحالي للسلع المشتراة من قبل المستهلك هي q 01 و q 02 و q t1 و q t2 . ثم سيكون مؤشر أسعار Laspeyre

هنا تم أخذ كميات سنة الأساس للبضائع كأوزان في أسعارها. L يعطينا مؤشر السعر في السنة الحالية إذا كان مؤشر سعر سنة الأساس هو 1. على سبيل المثال ، إذا كان L = 1.5 ، فنحن نحصل على مؤشر أسعار السنة الحالية وهو 1.5 عندما يكون مؤشر سعر سنة الأساس هو 1 ، أي الأسعار في السنة الحالية تزيد بنسبة 50 في المائة عن تلك الموجودة في سنة الأساس.

قد يتم تفسير مؤشر أسعار Laspeyer بطريقة أخرى. يمنحنا البسط الموجود على الجانب الأيمن من (6.140) تكلفة سلة سنة الأساس للبضائع (q 01 ، q 02 ) بأسعار السنة الحالية (p t1 ، p t2 ) ، ويعطينا الكسر تكلفة شراء نفس سلة البضائع بأسعار سنة الأساس (ص 01 ، ص 02 ).

بالنظر إلى هذا ، فإن L = 1.5 تعطينا أن تكلفة شراء سلة سنة الأساس للبضائع قد زادت بنسبة 50 في المائة في السنة الحالية على سنة الأساس. وهذا يعني أن رقم مؤشر أسعار Laspeyre L يمكن اعتباره أيضًا رقم مؤشر تكلفة المعيشة في Laspeyre.

دعونا الآن نصل إلى رقم مؤشر أسعار Paasche وهو نسبة إجمالي أسعار العام الحالي بكميات السنة الحالية ونسبة أسعار سنة الأساس بكميات السنة الحالية. لذلك ، نحصل على رقم مؤشر أسعار Paasche كما

هنا تم أخذ كميات العام الحالي للبضائع كأوزان لأسعارها. تمامًا مثل رقم مؤشر أسعار Laspeyre ، يمكن اعتبار رقم مؤشر أسعار Paasche أيضًا رقم مؤشر تكلفة المعيشة الخاص بـ Paasche. إنه يعطينا النسبة المئوية للزيادة في تكلفة شراء سلة البضائع في السنة الحالية في السنة الحالية على سنة الأساس.

دعونا الآن نصل إلى إجمالي إنفاق المستهلك في سنة الأساس وفي السنة الحالية. في سنة الأساس ، يكون إجمالي نفقاته هو E 0 ، ويقوم بشراء الكميات q 01 و q 02 بالأسعار p 01 و p 02 . لذلك ، خط ميزانيته في سنة الأساس هو

E 0 = p 01 q 01 + p 02 q 02 (6.142)

وبالمثل ، في السنة الحالية ، يكون إجمالي نفقاته ، على سبيل المثال ، E t ، ويقوم بشراء الكميات q tI و q t2 بالأسعار p t1 و p t2 . لذلك ، خط ميزانيته في السنة الحالية هو

E t = p t1 q t1 + p t2 q t2 (6.143)

نظرًا لأنه من المفترض أن الإنفاق يساوي الدخل ، فإن E t / E 0 يعطينا مؤشر التغير في دخل المستهلك في السنة الحالية على سنة الأساس. وهذا هو ، مؤشر تغيير الدخل من المال هو

هذا يعني أن تكلفة سلة سنة الأساس بأسعار العام الحالي أقل من نفقات السنة الحالية. بمعنى آخر ، في السنة الحالية ، قد يشتري المستهلك سلة سنة الأساس ، إذا أراد ذلك ، لكنه اختار عدم شراء هذه السلة. هذا يعني أنه يفضل سلة السنة الحالية على سلة سنة الأساس ، أي أنه أفضل حالًا في السنة الحالية مما كان عليه في سنة الأساس.

بقسمة طرفي اللامساواة (6.145) على E 0 ، حصلنا على

لذلك ، (6.145) يعني (6.146) يعطينا الشرط للمستهلك ليكون أفضل حالا في الفترة الحالية خلال فترة الأساس. دعونا الآن النظر في الحالة التالية:

هذا يعني أن تكلفة حزمة السنة الحالية بأسعار سنة الأساس أقل من نفقات سنة الأساس. هذا يعني أن المستهلك قد اشترى سلة السنة الحالية في سنة الأساس ، لكنه اختار عدم شراء هذه السلة.

وبالتالي ، كان يفضل سلة سنة الأساس وكان أفضل حالاً في فترة الأساس خلال الفترة الحالية. وبعبارة أخرى ، هو في وضع أسوأ في السنة الحالية مما كانت عليه في سنة الأساس. قسّم كلا جانبي (6.147) على E t لدينا

لذلك ، (6.147) يعني (6.148) يعطينا الشرط للمستهلك ليكون أفضل حالا في فترة الأساس أو ، أسوأ من ذلك في الفترة الحالية.

من (6.149) ضمنيًا (6.150) ، نحصل على أن تكلفة سلة سنة الأساس بأسعار العام الحالي أكبر من نفقات السنة الحالية. لذلك ، سلة سنة الأساس غير متوفرة للمستهلك في السنة الحالية.

أي أنه يشتري سلة السنة الحالية ليس لأنه يفضلها على سلة سنة الأساس ، ولكن لأنه أرخص. لذلك ، لا يمكننا القول أن المستهلك في وضع أفضل في السنة الحالية مقارنة بسنة الأساس.

وبالمثل ، إذا افترضنا:

من (6.151) يعني (6.152) ، نحصل على أن تكلفة سلة السنة الحالية في سنة الأساس أكبر من دخل سنة الأساس. لذلك ، يشتري المستهلك سلة سنة الأساس في سنة الأساس ، ليس لأنه يفضلها ، ولكن لأنه أرخص من سلة السنة الحالية. لذلك ، لا يمكننا هنا القول إنه أفضل حالًا في سنة الأساس مقارنة بالعام الحالي ، أو أنه أسوأ حالًا في السنة الحالية مقارنة بسنة الأساس.

ما حصلنا عليه أعلاه هو أنه إذا كانت E> L على النحو الوارد في الشرط (6.146) ، فإن المستهلك سيكون أفضل حالًا في السنة الحالية مقارنة بسنة الأساس. من ناحية أخرى ، إذا كان E <P كما هو موضح في (6.148) ، فإن المستهلك سيكون أفضل حالًا في سنة الأساس عن السنة الحالية.

قد نستخدم منحنيات اللامبالاة للمستهلك لتوضيح هذه النقاط. يوضح الشكل 6.110 الحالة الأولى ، أي أن المستهلك في وضع أفضل في السنة الحالية منه في سنة الأساس.

هنا ، في السنة الحالية ، يشتري المستهلك عند النقطة C t على خط ميزانية السنة الحالية ويشتري في سنة الأساس عند النقطة C 0 على خط ميزانية سنة الأساس. يظهر في الشكل 6.110 أن C t تقع على ارتفاع IC ، بمعنى ، IC 2 ، و C 0 تقع على الجزء السفلي من IC ، بمعنى ، IC 1 .

وبالمثل ، يوضح الشكل 6.111 الحالة الثانية ، أي أن المستهلك أفضل حالًا في سنة الأساس عن السنة الحالية. يتبين في هذا الشكل أن C 0 ملقاة على خط ميزانية سنة الأساس ، ويتم وضعها على IC أعلى ، بمعنى ، IC 2 ، و C t ملقاة على خط ميزانية السنة الحالية ، وضعت على IC أقل ، بمعنى . ، IC 1 .

من التحليل أعلاه ، خاصة من عدم المساواة (6.146) ، (6.148) ، (6.150) و (6.152) ، قد نميز بين أربع حالات:

(i) E أكبر من L و P (E> L ، E> P). هنا بحلول (6.146) ، أي E> L ، المستهلك في وضع أفضل في السنة الحالية على سنة الأساس. من ناحية أخرى ، بحلول (6.152) ، أي ، E> P ، مستوى المعيشة لا يقع في السنة الحالية. وبالتالي ، الفرد هو بالتأكيد أفضل حالا في الفترة الحالية.

(ii) E أقل من P و L (E <P ، E <L). هنا يتبع من (6.148) أنه إذا كانت E <P ، فسيكون المستهلك أفضل حالًا في سنة الأساس ، ويتبع من (6.150) أنه إذا كان E <L ، فلن يكون المستهلك في وضع أفضل في الفترة الحالية. مرة أخرى ، نحصل على إجابة واضحة لا لبس فيها أنه إذا كان E <P و E <L ، فسيكون المستهلك أفضل حالًا في فترة الأساس ، أي أن مستوى معيشته يهبط في الفترة الحالية مما كان عليه في فترة الأساس.

(ج) L> E> P. إذا كان L> E ، أو EP ، ثم (6.152) ، لا يمكننا القول أنه سيكون أفضل حالًا في سنة الأساس. وبالتالي ، في هذه الحالة ، لا يمكن التوصل إلى استنتاج محدد فيما يتعلق بالتحسين أو التدهور في مستوى معيشة المستهلك بين الفترتين.

(4) P> E> L. إذا كانت P> E أو EL ، ثم بحلول (6.146) ، يرتفع مستوى معيشة المستهلك في السنة الحالية ، لأنه يفضل سلة السنة الحالية على سلة السنة الأساسية.

لذلك ، في هذه الحالة أيضًا ، لا يمكننا استخلاص أي استنتاج محدد فيما يتعلق بالتغيير في رفاهية المستهلك ، وهذا هو الموقف الذي تم فيه انتهاك البديهية الضعيفة لنظرية التفضيل المكشوفة.

هذا الموقف موضح في الشكل 6.112. Here the base period budget line is P 0 P' 0 and the current period budget line is P 1 P' 1 . Let us suppose that the consumer chose R (q 01, q 02 ) on IC 1 when the budget line was P 0 P 0 'and T (q t1, q t2 ) on IC 2 when the budget line was P 1 P 1 '. Since LL' lies below P 1 P 1 ' and is parallel to it and since R is on LL' and T is on P 1 P 1 ', it must be true that expenditure at R at (p t1, p t2 ) must be less than that at T at (p t1, p t2 ), ie, we would have

Also, since the point T (q t1, q t2 ) is on MM' which is parallel to p 0 p 0 but lies below it, T has the same prices as p 0 p 0 ' but has less expenditure than the point R (q 01, q 02 ) which lies on P 0 P 0 ', ie, we have

Thus, we have P > E > L. But in this case, there is inconsistency. This is also obvious from Fig. 6.112. The consumer could have purchased T in the base period, since T lies below the base period budget line p 0 p 0 ', but he actually chose R, implying that he prefers R to T.

But in the current period, he could have had R, since R lies below the current period budget line P 1 P 1 ', but he chose T, implying that he prefers T to R.

This is inconsistent if his tastes remain unchanged between the base period and the current period, and the weak axiom of revealed preference is not complied with. This inconsistency is also reflected in the fact that the ICs through R and T, viz., IC 1 and IC 2, have not been obtained to be non-intersecting—they have intersected at the point S.

We have seen, therefore, that it is sometimes possible to determine whether the consumer's standard of living has increased or decreased by means of index number comparisons. However, there may be situations where we cannot arrive at any definite conclusions or where the results may be contradictory.

Example 1 :

When two commodity baskets are purchased by the consumer at two different points in time, explain how price weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference.

المحلول:

We have to explain how price-weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference. Let us suppose that in the base period '0', a consumer is observed to purchase the combination q 0 (q 01, q 02 ) of two goods Q 1 and Q 2 at the price set p 0 (p 01, p 02 ) and in the current period 't' he is observed to purchase the combination q t (q t1, q t2 ) of the goods at the price set p t (p t1, p t2 ).

Therefore, the costs of purchasing the combination q 0 at the price set p 0 and p t are

Again, the costs of purchasing the combination q t at the price set p 0 and p t are

In the base period, the consumer purchases the quantity set q 0 at the price set p 0 . If he happens to prefer q 0 to q t, then by definition, the cost of the quantity set q 02 must be less than, or, (at most) equal to that of purchasing q 0 at p 0, ie,

Since the left-hand side of (5) is, by definition, the Laspeyre's base year price weighted quantity index (L), we obtain the condition for q 0 at p 0 to be preferred by the consumer to q 0 at p 0 as

L ≤100 (6)

Again, in the current period, the consumer is observed to purchase the combination q t at price p t . However, if the weak axiom of revealed preference is to be satisfied then he must not prefer q t at p t to q 0 at p t . Therefore, we may conclude that he purchases q in the current period because it is cheaper than q 0, ie,

Since the left-hand side of (7) is by definition the Paasche's current year price weighted quantity index (P), we obtain the condition for p t at q t to be cheaper than p 0 at q t as

P < 100 (8)

(6) and (8) give us that the weak axiom of revealed preference would be satisfied if the Laspeyre's and Passche's quantity indices both are less than 100. Of course, L may be at most 100. Here 100 is the base period index numbers for both the formulas.

مثال 2:

A consumer is observed to purchase x 1 = 20, x 2 = 10 at the prices p 1 = 2 and p 2 = 6. He is also observed to purchase x 1 = 18 and x 2 = 4 at the prices p 1 = 3 and p 2 = 5. Is his behaviour consistent with the weak axiom of revealed preference?

المحلول:

From the given data, we obtain:

(i) The cost of the combination (x 1 = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 1 = 20×2 + 10×6 = 100

(ii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 2 = 18×2 + 4×6 = 60

(iii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 3 = 18×3 + 4×5 = 74

(iv) The cost of (x, = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 4 = 20×3 + 10×5= 110

From above, it is obtained that the consumer buys the first set of goods, (20, 10), not because it is cheaper than the second set but because he prefers it to the second set, since the cost of the former, E 1 = 100, is greater than the cost of the latter, ie, E 2 = 60.

However, when he purchases the second set, not the first one, at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5), he does this because it is cheaper than the first set, not because he prefers this set to the first set, since the cost of the second set, ie, E 3 = 74, is less than that of the first set, ie, E 4 = 110.

Therefore, the consumer's behaviour is consistent with the weak axiom of revealed preference.

Convexity and Concavity :

Convex and Concave Functions :

Let us refer to Fig. 6.113. A function f (x) represented by the curve ABCDE, is convex over the interval (a, b) if we have

In Fig. 6.113, point S has divided the line segment BD in the ratio 1 – λ: λ. Therefore, the x and y coordinates of point S are

OT = λx 1, +(1 -λ)x 2

and ST = λf(x 1 ) + (1 -λ)f(x 2 )

The function f(x) is said to be strictly convex over the interval (a, b) if strict inequality holds in (6.153) for all 0 < λ < 1.

Let us again refer to Fig. 6.113. A function f(x), now represented by the curve FBGDH is concave over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≥ λf(x 1 ) + (1 – λ)f(x 2 ) (6.154)

and the function is strictly concave if strict inequality holds in (6.154) for 0 < λ < 1.

Quasi-convex and Quasi-Concave Functions:

By definition, a function f(x) is quasi-convex over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≤ max [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.155)

for all x 1 and x 2 in the interval and all 0 ≤ λ ≤ 1. The function f(x) is strictly quasi-convex if strict inequality holds in (6.155) for 0 < λ < 1.

In Fig. 6.114, the curve A'BC'DE' represents, by definition, a quasi-convex function over the interval (a, b).

Let us now come to quasi-concavity. A function f(x) is quasi-concave over an interval (a, b) if we have

f[λx 1 + (1 – 1 )x 2 ] ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.156)

for all x 1 and x 2 in the interval (a, b) and for all 0 ≤ λ ≤ 1. The function is strictly quasi-concave if strict inequality holds in (6.156) for 0 < λ < 1. In Fig. 6.114, the curve F'BG'DH' represents, by definition, a quasi-concave function over the interval (a, b).

At the end of our discussion of convex and concave curves, let us note that, as per the definitions, a convex function is also quasi-convex for the former also satisfies (6.155), but a quasi-convex function cannot be a convex function for it does not satisfy (6.153). Similarly, a concave function is also quasi-concave for it satisfies also (6.156), but a quasi-concave function cannot be concave for it does not satisfy (6.154).

Geometrical Illustrations :

From our discussions above we obtain the following with illustrations in Fig. 6.113:

(i) The curve, ABCDE, representing a function, f (x), is convex over a certain interval (a, b) if the line segment, BD, joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or above the curve; and if the line segment lies throughout above the curve, it is said that the function is strictly convex.

(ii) On the other hand, a function f(x), viz., FGDH, is concave over a certain interval (a, b) if the line segment joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or below the curve; and if the line segment lies throughout below the curve, it is said that the function is strictly concave.

We also obtain the following with illustrations in Fig. 6.114.

(iii) A function f(x), viz., A'BC'DE', is quasi-convex over a certain range between x = a and x = b, if at any x = h in the range, we have f(h) ≤ max [f(a), f(b)], and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-convex.

It may be noted that a convex function is also quasi-convex, but a quasi-convex function cannot be convex, for some quasi-convex functions, like A'BC'DE', may lie above the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a convex function cannot.

(iv) Lastly, a function f(x), like F'BG'DH', is quasi-concave over a certain range between x = x 1 and x = x 2, if at any x = h in the range, we have f(h) ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )]; and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-concave. It may be noted here that a concave function is also quasi-concave.

But a quasi-concave function cannot be concave, for some quasi-concave functions, like F'BG'DH', may lie below the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a concave function cannot.

Utility Function for Strictly Convex Indifference Curves :

Our question here is what types of utility function will produce strictly convex indifference curves (ICs) and thus satisfy the second-order condition. Two functions that may be accepted as such utility functions have been shown in Fig. 6.115. Part (a) of the Fig. 6.115 gives us a smooth strictly concave function.

Because of the assumption of positive marginal utilities, we have only shown the ascending portion of the dome-shaped surface. When this surface is cut with a plane parallel to the xy-plane, we obtain for each such cut a curve which will become a strictly convex downward sloping IC with respect to the xy-plane.

Strict concavity in a smooth utility function is, therefore, sufficient to fulfill the second-order condition (SOC) for utility-maximisation. However, if we examine part (b) of Fig. 6.115, it would be evident that strict concavity is not necessary for the SOC. This is because the strictly convex ICs can also be obtained from the utility function given in part (b) of the figure, which is not strictly concave—in fact, not even concave.

The function in Fig. 6.115 is generally shaped like a bell. Of course, we have shown here only the ascending portion of the bell. The surface of this function is called strictly quasi-concave.

The geometric property of this function is that, for any pair of distinct points u and v in its domain, if the line segment uv (which is assumed to lie entirely in the domain) gives rise to the arc MN on the surface, and if M is lower than or equal in height to N, then all the points on arc MN other than M and N must be higher than M.

[Algebraically, a function f is said to be strictly quasi-concave if, for any two distinct points in its domain like u and v, and for all values of λ, 0 < λ < 1, we would have:

The quasi-concavity of the function in Fig. 6.115 may be verified by examining such arcs as MN (N higher than M) and M'N' (M' and N' being of equal height). We have to note here that in the case of arc M'N', it is the dotted arch that lies directly above the line segment u V, not the solid curve, which possesses the property of a quasi-concave function.

The interesting thing, however, is that the strictly concave function in Fig. 6.115(a) is also strictly quasi-concave.

From what we have obtained, we may conclude that only a smooth, increasing, strictly quasi-concave utility function would generate strictly convex ICs. Such a function may have convex as well as concave portions, as shown in Fig. 6.115(b) so that the marginal utilities may be either increasing or diminishing.

From this it follows that strict convexity of ICs does not imply diminishing MUs. However, if we accept the stronger assumption of a strictly concave utility function, then we may have the features of both diminishing MU and strictly convex ICs at the same time.

 

ترك تعليقك