باريتو الأمثل: الشروط والتكوين

في هذه المقالة سوف نناقش حول: - 1. مقدمة إلى باريتو الأمثل 2. الكفاءة في الإنتاج 3. باريتو الأمثل في الإنتاج والمنافسة المثالية 4. الكفاءة في الاستهلاك أو التبادل 5. باريتو الأمثل في الاستهلاك أو الصرف والمنافسة المثالية 6. باريتو شروط الأمثلية عندما تكون الآثار الخارجية موجودة وتفاصيل أخرى .

محتويات:

  1. مقدمة إلى باريتو الأمثل
  2. الكفاءة في الإنتاج
  3. باريتو الأمثل في الإنتاج والمنافسة المثالية
  4. الكفاءة في الاستهلاك أو التبادل
  5. باريتو الأمثل في الاستهلاك أو التبادل والمنافسة المثالية
  6. شروط Pareto Optimality عندما تكون التأثيرات الخارجية موجودة
  7. الكفاءة في تخصيص العوامل بين السلع ، أو الكفاءة في مزيج المنتجات أو تكوين المخرجات
  8. تكوين باريتو الأمثل للنواتج والمنافسة المثالية


1. مقدمة إلى باريتو الأمثل:

يعتمد رفاهية المجتمع ، بمعناه الأوسع ، على مستويات الرضا لجميع المستهلكين. لكن كل تغيير تقريبًا في الحالة الاقتصادية للمجتمع سيكون له آثار إيجابية على بعض الأعضاء وتأثيرات غير مواتية على الآخرين.

تقييم مثل هذا التغيير الاجتماعي أمر مستحيل ما لم يكن الخبير الاقتصادي جاهزًا لإجراء مقارنة بين المنفعة في ظل حكم القيمة ، وهو ما قد لا يرغب في القيام به. بدلاً من ذلك ، سيكون مستعدًا لتقييم مثل هذه التغييرات حيث يكون شخص واحد على الأقل في وضع أفضل وليس هناك شخص أسوأ حالًا.

قال الخبير الاقتصادي الإيطالي فيلفريدو باريتو (1848-1923) إنه إذا كان التغير في الحالة الاقتصادية يجعل فردًا واحدًا على الأقل أفضل حالًا دون جعل أي شخص أسوأ حالًا ، فإن التغيير يكون لتحسين الرفاهية الاجتماعية ، أي التغيير مرغوب فيه. في هذه الحالة ، نقول أن الحالة الأولية كانت باريتو غير الأمثل.

من ناحية أخرى ، إذا كان التغيير لا يجعل أحسن حالًا وأحد أسوأ حالته ، مما يعني أن التغيير سيجعل المجتمع أسوأ حالًا ، فعندئذ من وجهة نظر الرفاهية ، تكون الحالة الاقتصادية الأولية هي Pareto-optimal.

لذلك ، يمكن ذكر معيار الأمثلية Pareto بهذه الطريقة:

يقال إن الحالة التي يكون من المستحيل فيها تحسين حالتها دون جعل شخص ما أسوأ حالًا ، تكون باريتو مثالية أو فعالة من باريتو.

من الواضح أن مفهوم باريتو الأمثل يتجنب المقارنة الشخصية بين المنفعة. نظرًا لأن معظم السياسات الحكومية تنطوي على تغييرات في الحالة الاقتصادية ، والتي تعود بالنفع على بعض الناس وتجلب المضايقات للآخرين ، فمن الواضح أن مفهوم باريتو الأمثل هو محدود التطبيق في مواقف العالم الحقيقي.

شروط باريتو الأمثل:

لتحقيق حالة باريتو ذات الكفاءة في الاقتصاد ، يجب تلبية ثلاثة شروط هامشية.

وهذه هي:

(ط) شرط هامشي للكفاءة في توزيع العوامل بين الشركات (الكفاءة في الإنتاج) ؛

(2) الحالة الهامشية لكفاءة توزيع السلع بين المستهلكين (الكفاءة في الاستهلاك) ؛ و

(3) الشرط الهامشي للكفاءة في توزيع العوامل بين السلع (الكفاءة في مزيج المنتجات أو تكوين الناتج).

افتراض:

من أجل استنباط هذه الشروط الهامشية الثلاثة لتحقيق باريتو الأمثل ، سنفترض ، من أجل البساطة ، أنه لا يوجد سوى مستهلكين اثنين (الأول والثاني) ، عاملان للإنتاج (X 1 و X 2 ). وسلعتان (Q 1 و Q 2 ) ، أي أن نموذجنا هنا سيكون نموذج 2 × 2 × 2.


2. الكفاءة في الإنتاج:

إذا افترضنا أن السلع الاستهلاكية من النوع "الأفضل هو الأفضل" وأن الآثار الخارجية غائبة في الاستهلاك ، فإن الزيادة في الكمية المنتجة من سلعة مستهلك واحد على الأقل دون انخفاض في كمية أي منتج آخر ، يمكن أن تؤدي لتحسين مستوى المرافق لمستهلك واحد على الأقل دون تناقصات في فائدة الآخرين.

لذلك ، يتطلب الحد الأمثل من الإنتاج في Pareto أن يكون مستوى الإنتاج لكل سلعة جيدة بحد أقصى ، بالنظر إلى مستويات الإنتاج لجميع السلع الاستهلاكية الأخرى.

قد نستمد الحالة الهامشية لفعالية Pareto في الإنتاج بمساعدة الشكل 21.1 والذي يُسمى مخطط صندوق الحافة المستقيمة. تمثل أبعاد المستطيل في الشكل 21.1 إجمالي الكميات المتاحة ، و x0 2 ، للمدخلات X 1 و X 2 التي ستُستخدم جميعها لإنتاج السلع الاستهلاكية Q 1 و Q 2 .

تمثل أي نقطة في المربع تخصيصًا معينًا للمدخلات على إنتاج البضاعة.

على سبيل المثال ، إذا كانت النقطة B مخصصة لتوزيع المدخلات ، فإن كميات X 1 و X 2 المستخدمة في إنتاج السلعة Q 1 تُقاس بإحداثيات B بالإشارة إلى المصدر O ، وكميات تقاس X 1 و X 2 المستخدمة في إنتاج السلعة Q 2 بإحداثيات النقطة B بالإشارة إلى الأصل O '.

ترد الخريطة المتساوية (IQ) للسلع Q و Q 2 في الشكل 21.1 مع الإشارة إلى نقاط المنشأ O و O '، على التوالي.

الآن ، سيتم الحصول على الشرط الهامشي لكفاءة Pareto في الإنتاج إذا قمنا بزيادة ناتج Q 1 الجيد إلى الحد الأقصى لمستوى ناتج معين Q 2 جيد. قد يحدث هذا الحد الأقصى عند نقطة الملاءمة بين حاصل الذكاء بالنسبة للبضائع.

على سبيل المثال ، قد يحدث تعظيم ناتج Q 1 وفقًا لكمية Q 2 على النحو الوارد في IQ3 ، عند نقطة المماس S بين حاصل الذكاء للبضائع. وبالمثل ، فإن تعظيم ناتج Q 2 مع مراعاة كمية Qi كما هو موضح في IQ 3 ، قد يحدث عند نقطة الملامسة R بين iqs للسلعتين.

ومع ذلك ، عند نقطة الملاءمة بين حاصل الذكاء بالنسبة للسلعتين ، لدينا ميل عددي لحاصل الذكاء للخير Q 1 = الميل العددي ل IQ للخير Q 2

MRTS X1 أو X2 أو في إنتاج Q 1 = MRTS X1 أو X2 في إنتاج Q 2 (21.1)

وبالتالي ، فإن الشرط الهامشي لكفاءة Pareto في الإنتاج يعطى بواسطة (21.1) التي تنص على أن المعدل الهامشي للإحلال الفني (MRTS) بين المدخلين يجب أن يكون هو نفسه في إنتاج البضاعة.

من الواضح من الأعلى أن نقطة كفاءة Pareto في الإنتاج يجب أن تكون بالضرورة نقطة تماس بين حاصل الذكاء بالنسبة للبضائع. إذا انضممنا إلى جميع نقاط الشبه بين حاصل الذكاء بالنسبة للبضائع ، عن طريق منحنى ، فسوف نحصل على ما يسمى بمنحنى عقد Edge-worth للإنتاج الذي سنشير إليه بواسطة CCP. سيتم تشغيل CCP من النقطة O إلى النقطة O 'في الشكل 21.1.

لقد حصلنا بعد ذلك على أن جميع النقاط في CCP هي نقاط فعالة في إنتاج Pareto. وهذا هو ، إذا كنا في مرحلة ما من مراحل CCP ، فلن نتمكن من التأثير من خلال تغيير في تخصيص المدخلات ، أي زيادة في إنتاج أحد البضائع دون تقليل كمية البضائع الأخرى.

من ناحية أخرى ، فإن أي نقطة مثل B في الشكل 21.1 ، والتي لا تقع على CCP والتي لا تفي بالشرط (21.1) ، هي Pareto-non-optimal. عند النقطة B ، نحن على IQ 2 للخير Q 1 وعلى IQ ' 2 للخير Q 2 .

ومع ذلك ، بعد إعادة تخصيص الموارد ، إذا وصل الاقتصاد إلى نقطة ما على CCP بين R و S ، فستكون كميات كلتا البضاعة أكبر ، وإذا وصل الاقتصاد عند النقطة R أو S ، ستكون كمية واحدة من البضائع أكبر وستظل السلعة الأخرى كما هي.

هذا يدل على أن أي نقطة B لا تكمن في CCP ، هي Pareto غير المثالية ، ومن خلال إعادة تخصيص الموارد ، إذا تم جلب الاقتصاد إلى نقطة ما في الجزء RS من CCP ، فعلى الأقل سيتم إنتاج واحدة من البضائع بكمية أكبر ، بينما تبقى البضاعة كما هي.

لقد رأينا أن جميع النقاط في CCP هي Pareto-optimal. ومع ذلك ، لا يمكننا مقارنة أي نقطتين ، على سبيل المثال ، R و S ، في CCP لأنه إذا كان الاقتصاد يتحرك من S إلى R ، فإن ناتج Q 1 سيزداد وأن ناتج Q 2 سينخفض ​​مما يؤدي إلى ميزة لبعض الأشخاص وعيوبهم. بالنسبة للبعض الآخر ، وحيث أن المقارنة بين الأشخاص في المنفعة مستبعدة ، لا يمكننا مقارنة النقطتين R و S.

الاشتقاق الرياضي للشروط :

يمكننا أيضًا استنباط الحالة الهامشية رياضياً لكفاءة باريتو في الإنتاج.

لنفترض أن وظائف الإنتاج للبضائع Q 1 و Q 2 هي:

q 1 = q 1 (x 11 ، x 12 )

و q 2 = q 2 (x 21 ، x 22 ) (2.12)

حيث q 1 و q 2 هي الكميات المنتجة للبضائع Q 1 و Q 2 و x 11 و x 12 هي كميات المدخلات X 1 و X 2 المستخدمة في إنتاج Q 1 و x 21 و x 22 هي الكميات من هذه المدخلات المستخدمة في إنتاج جيد س 2 .

نظرًا لأن إجمالي الكميات المتاحة من المدخلين هما x0 1 و x0 2 ، فقد نكتب:

وفقًا لمتطلبات باريتو المثالية ، يمكن استخلاص شروط الكفاءة إذا قمنا بزيادة قيمة q 1 على النحو الوارد في (21.2) مع مراعاة:

حيث q0 2 هي أي كمية معينة من جيدة Q 2 .

وظيفة Lagrange ذات الصلة لهذه المشكلة تعظيم الحد الأقصى هي:

الترتيب الأول أو الشروط الضرورية للحد الأقصى q 1 الخاضع لـ q 2 = q0 2 هي:

تمنحك حالة كفاءة Pareto (21.1) أو (21.7) أنه يجب تخصيص الكميات المتاحة من المدخلين ، X 1 و X 2 ، على إنتاج البضاعة ، Q 1 و Q 2 ، بحيث MRTS بين المدخلات قد تكون هي نفسها في إنتاج البضائع اثنين.

قد نرى الآن بمساعدة مثال بسيط لماذا الشرط (21.7) ضروري لكفاءة باريتو في الإنتاج. لنفترض أنه في إنتاج Q 1 ، MRTS X1 ، x 2 = 2 ، وفي إنتاج Q 2 ، MRTS X1 ، x 2 = 1

أي أن MRTS ليست هي نفسها في إنتاج السلعتين.

يتبع من الأعلى أنه يمكننا استبدال وحدة واحدة من X 1 لوحدتين من X 2 في إنتاج Q 1 ، والحفاظ على ناتج Q 1 ثابتًا. وبالمثل ، يمكننا استبدال 1 وحدة من X 1 بوحدة واحدة من X 2 في إنتاج Q 2 ، والحفاظ على خرج Q 2 ثابتًا. لذلك ، كل ما علينا فعله هو أخذ وحدة واحدة من X 1 من إنتاج Q 2 واستخدامها في إنتاج Q 1 .

يؤدي هذا إلى إطلاق وحدتين من X 2 من إنتاج Q 1 ، يمكن نقل وحدة واحدة منها إلى إنتاج Q 2 للحفاظ على إنتاجها عند المستوى الأولي. إذا فعلنا كل هذا ، فسيظل ناتج Q 1 و Q 2 بدون تغيير ، ومع ذلك تبقى لنا وحدة إضافية من X 2 . يمكننا استخدام هذه الوحدة في إنتاج Q 1 (أو Q 2 ) والحصول على المزيد من Q 1 (أو Q 2 ). وبالتالي ، يتم زيادة ناتج واحد دون تقليل الإخراج الآخر.

يوضح المثال أعلاه أنه إذا كانت MRTS X1 و X2 في إنتاج البضاعة غير متساوية ، إذا كانت MRTS في إنتاج Q 2 أقل ، على سبيل المثال ، من إنتاج Q 1 ؛ ثم يتعين علينا إخراج الوحدة الهامشية من المدخلات X 1 من إنتاج Q 2 ونقلها إلى إنتاج Q 1 حيث MRTS X1 ، X2 أعلى ، ونأخذ بعيدا عن الحقل الإدخال X 2 ، في مقابل .

بينما نواصل العملية ، سترتفع MRTS في إنتاج Q2 مع انخفاض كمية X 1 ، وستنخفض MRTS في إنتاج Q 1 مع زيادة كمية X 1 ، وكما رأينا ، تخصيص يصبح أفضل بالمعنى Pareto.

لذلك ، إذا أردنا الوصول إلى الوضع الفعال لـ Pareto ، يتعين علينا مواصلة العملية حتى تصبح MRTS مساوية في إنتاج البضاعة. لأنه عندما تصبح MRTS في إنتاج كلتا البضاعة كما هي ، فلن يكون بمقدور أي إعادة تخصيص أخرى زيادة إنتاج واحد على الأقل من البضائع دون تقليل إنتاج السلعة الأخرى.

لفهم ذلك ، دعنا نفترض أن MRTS بين المدخلات متساوية في إنتاج البضاعة ، وأنها تساوي 4. في هذه الحالة ، إذا أخذنا وحدة واحدة من X ، من إنتاج Q 2 ، ونقلها إلى إنتاج Q 1 ، ستطلق الأخيرة 4 وحدات من X 2 في التبادل ، بحيث يظل مستوى إنتاج Q 1 ثابتًا.

يجب نقل هذه الوحدات الأربع من X 2 إلى إنتاج Q 2 لأن MRTS هناك 4 ، وعندما يتم إعطاء 4 وحدات من X 2 لاستخدامها في إنتاج Q 2 في مقابل وحدة واحدة من X 1 ، سيظل إنتاج Q 2 على حاله عند المستوى الأولي.

لذلك ، عن طريق إعادة تخصيص الموارد ، لم نتمكن من زيادة إنتاج واحد على الأقل من البضائع. على العكس من ذلك ، فإن إعادة توزيع المدخلات من شأنها أن تبقي مخرجات البضاعة دون تغيير بكمياتها الأولية.


3. باريتو الأمثل في الإنتاج والمنافسة المثالية :

باريتو الأمثل في الإنتاج مضمونة في ظل المنافسة الكاملة. لأنه في ظل المنافسة الكاملة ، يتم إعطاء الأسعار r 1 و r 2 من المدخلين ، X 1 و X 2 ، للشركات التي تنتج السلع Q 1 و Q 2 ، وكل شركة تعظيم الربح تعادل MRTS X1 ، × 2 إلى نسبة أسعار المدخلات.

وهذا هو ، بالنسبة لمنتج Q 1 نحصل على:

من (21.8) ، نحصل على:

MRTS x1 ، x2 في إنتاج Q 1 = MRTS x1 ، x2 في إنتاج Q 2 (21.9)

بما أن الشرط (21.9) هو نفسه الشرط (21.7) ، فإن كفاءة Pareto في الإنتاج هي أمر مؤكد في ظل المنافسة الكاملة.

قد نحصل الآن على حل بياني للمعادلة (21.7) أو (21.9) لتخصيص المدخلات X 1 و X 2 على إنتاج السلع Q 1 و Q 2 وللكميات المنتجة من Q 1 و Q 2 . مضمون الرضا الهامشي (21.7) أو (21.9) في ظل المنافسة الكاملة.

دعونا نفترض أنه في الأسواق التنافسية ، تكون أسعار المدخلات هي r 1 و r 2 . دعنا الآن نرسم خطًا مستقيمًا ST من المنحدر - r 1 / r 2 عبر النقطة O 'في الشكل 21.1 ، ونلتقط النقطة e على منحنى العقد للإنتاج (CCP) حيث يكون الميل المشترك للمتساوي يساوي ميل الخط ST. بمعنى ، عند النقطة e ، لدينا منحدرات عددية في حاصل الذكاء لشخصين = الميل العددي للخط ST = r 1 / r 2

وهذا هو ، عند النقطة e في الشكل 21.1 ، تم استيفاء الشرط الهامشي لكفاءة الإنتاج. عند هذه النقطة ، سيتم استخدام الكميات من المدخلين ، x0 11 و x0 21 في إنتاج Q 1 وهذه الكميات ، عند استبدالها في وظيفة الإنتاج لـ Q 1 ، من شأنه أن يعطينا كمية الإخراج من وبالمثل ، سيتم استخدام كميات من المدخلين ، x0 21 و x0 22 ، في إنتاج Q 2 والإخراج هنا سيكون q0 2 .


4. الكفاءة في الاستهلاك أو التبادل :

يقال إن توزيع الكميات المعطاة من السلعتين Q 1 و Q 2 بين مستهلكين I و II فعالين في Pareto إذا كان من المستحيل ، من خلال إعادة توزيع هذه السلع ، زيادة فائدة فرد واحد دون تخفيض 0 فائدة الآخر.

يمكن اشتقاق الشرط الهامشي للكفاءة في الاستهلاك أو التبادل بمساعدة مخطط صندوق Edgeworth الوارد في الشكل 21.2. تمثل أبعاد المستطيل في الشكل 21.2 إجمالي الكميات المتاحة ، q0 1 و q0 2 ، للسلعتين في اقتصاد الصرف النقي.

تمثل أي نقطة في المربع توزيعًا معينًا للسلع بين المستهلكين. على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء توزيع السلع بالنقطة A ، فإن كميات Q 1 و Q 2 التي يستهلكها المستهلك I تقاس بإحداثيات A فيما يتعلق بالمنشأ O وكميات البضاعة المستهلكة بواسطة II هي تقاس بإحداثيات A wrt الأصل O '.

إن خريطة اللامبالاة الخاصة بالمستهلك الذي أعطيت لي أصله و أصله الثاني أعطيت وري الأصل.

الآن ، سيتم الحصول على الشرط الهامشي لكفاءة Pareto في الاستهلاك أو التبادل إذا قمنا بزيادة مستوى المنفعة للمستهلك I أو II رهناً بمستوى المنفعة المحدد للمستهلك II أو I. سيحدث هذا التعظيم عند نقطة من اللامبالاة بين اللامبالاة منحنيات (المرحلية) للمستهلكين. على سبيل المثال ، قد يحدث تعظيم الاستفادة من المستهلك I الخاضع لمستوى المنفعة II كما هو موضح في IC 1 للمستهلك II ، عند نقطة الظل ، E ، بين المرحلتين المرحلتين للمستهلكين.

وبالمثل ، فإن تعظيم الاستفادة من المستهلك II وفقًا لمستوى المنفعة الخاص بـ I كما هو موضح في IC 3 للمستهلك ، سوف يحدث عند نقطة المصادفة ، F ، بين المرحلتين المرحلتين. لذلك ، يمكن أن نضيف أن توازن التبادل ليس فريدًا.

الآن ، عند نقطة الملاءمة بين الشهادات المرحلية للمستهلكين ، لدينا ميل عددي لـ IC للمستهلك I = الميل العددي لـ IC للمستهلك II

=> MRS Q1 ، Q2 للمستهلك I = MRS Q1 ، Q2 للمستهلك II (21.11)

وبالتالي ، فإن الحالة الحدية لكفاءة باريتو في الاستهلاك تعطى بواسطة (21.11). من الواضح من الأعلى أن أي نقطة تماس بين الشهادات المرحلية للمستهلكين هي نقطة كفاءة باريتو. إذا انضممنا إلى كل نقاط الظل هذه من خلال منحنى في الشكل 21.2 ، نحصل على ما يعرف باسم منحنى عقد Edgeworth للاستهلاك أو التبادل (CCC أو CCE) ، والذي سينطلق من النقطة O إلى النقطة O '.

لذلك ، فإن جميع النقاط الموجودة في منحنى العقد والتي تكون (21.11) فيها راضية ، هي نقاط Pareto ذات كفاءة في الاستهلاك. لأنه ، إذا كنا في مرحلة ما من منحنى العقد ، في الشكل (21.2) ، فلن نتمكن من التأثير ، من خلال تغيير توزيع البضائع ، على تحسين فائدة مستهلك واحد دون التقليل من فائدة الأخرى.

لذلك ، دعونا نلاحظ مرة أخرى أن نقطة كفاءة Pareto في التبادل ليست فريدة من نوعها. من ناحية أخرى ، فإن أي نقطة مثل A ، والتي لا تقع على منحنى العقد والتي لا تفي (21.11) ، هي Pareto غير الأمثل. عند هذه النقطة ، A ، المستهلك I موجود على IC 2 الخاص به والمستهلك II موجود على IC 2 الخاص به .

ومع ذلك ، بعد إعادة توزيع السلع ، إذا تم إحضار المستهلكين في مرحلة ما من منحنى العقد بين E و F ، فإن كلا من المستهلكين سيستفيد كلاهما سيصل الآن إلى ICs أعلى ، وإذا تم إحضارهم فقط في النقطة E أو F ، ثم يستفيد أحدهم ، بينما سيبقى مستوى الأداة المساعدة للطرف الآخر كما هو.

هذا يدل على أن أي نقطة A ، والتي لا تقع على CCE ، هي Pareto غير الأمثل وإعادة توزيع للسلع ، إذا جئنا المستهلكين إلى شريحة EF من CCE ، فإن واحدة منها على الأقل الاستفادة ، ومستوى فائدة الآخر تبقى على حالها.

لقد رأينا أن جميع النقاط الموجودة في منحنى العقد تتسم بفعالية باريتو. ومع ذلك ، لا يمكننا مقارنة النقاط في منحنى العقد لأن ذلك سيشمل المقارنة بين الأشخاص لفائدة ، وهو أمر غير ممكن بدون حكم صريح على القيمة.

الاشتقاق الرياضي للشروط :

يمكننا أيضًا استنباط الحالة الهامشية رياضياً لكفاءة Pareto في الاستهلاك ، أو Exchange. دعونا نفترض أن وظائف الأداة المساعدة للمستهلكين الأول والثاني على التوالي ،

ش 1 = ش 121 ، ف 12 )

وش 2 = ش 221 ، ف 22 ) (21.12)

حيث q 11 و q 12 هي كميات Q 1 و Q 2 التي يستهلكها المستهلك I و q 21 و q 22 هي كميات البضاعة التي يستهلكها الفرد II.

إذا كانت q و 2 هي الكميات المعطاة من البضاعة ، فلدينا:

q 11 + q 21 = q0 1

و q 12 + q 22 = q0 2 (21.13)

يتضح من (21.12) أن مستوى فائدة كل مستهلك يعتمد فقط على الكميات التي يستهلكها وليس على الكميات التي يستهلكها الآخر. وهذا هو ، وقد افترض هنا أن الآثار الخارجية غائبة.

تعني فعالية Pareto في الاستهلاك أن u 1 يتم تعظيمها وفقًا لمعطى u 2 = u0 2 ، أو العكس. لنقم بعد ذلك بتكوين دالة Lagrange ذات الصلة ، V ، لتحقيق أقصى قدر من التقييد لـ u 1 كـ

V = u 1 (q 11 ، q 12 ) + λ [u 2 (q 2 (q 21 ، q 22 ) -u0 2 ] (21.14)

حيث λ هو مضاعف لاغرانج.

الآن ، الشروط من الدرجة الأولى لتكبير الحد u 1 الخاضع u 2 = u0 2 هي:

إن شرط باريتو - الكفاءة (21.11) أو (21.16) يعطينا أن الكميات المعطاة من البضاعة يجب أن توزع بين المستهلكين بطريقة تجعل MRS بين البضاعة متماثلة للمستهلكين.

قد نرى الآن بمساعدة مثال بسيط لماذا الشرط (21.11) ضروري لكفاءة Pareto في الاستهلاك.

لنفترض أن:

للأفراد I ، => MRS Q1 ، Q2 = 2 و

للفرد II ، => MRS Q1 ، Q2 = 1

أي أن MRS ليست هي نفسها بالنسبة للأفراد.

هذا يعني أن الفرد الأول مستعد لتبادل وحدتين من Q 2 للحصول على وحدة واحدة من Q 1 والفردي II على استعداد لتبادل وحدة واحدة من Q 2 للحصول على وحدة واحدة من Qi. في مثل هذه الحالة ، حيث لا تكون MRS متماثلة بالنسبة للشخصين ، يجوز لنا إعادة توزيع البضائع لجعل واحدة منها على الأقل أفضل حالًا دون جعل المستهلك الآخر في وضع أسوأ.

ما يتعين علينا القيام به هنا هو سحب وحدة واحدة من Q 1 من المستهلك II ومنحها أنا الذي سيمنحنا وحدتين من Q 2 في المقابل. الآن نعطي إحدى هذه الوحدات لـ B للحفاظ على مستوى فائدته ثابتًا - يريد الحصول على وحدة واحدة Q 2 للتخلي عن وحدة واحدة من Q 1 .

ولكن لدينا الآن وحدة واحدة من Q 2 اليسار. يمكننا أن نعطيها إما أنا أو أنا ، وبالتالي جعل أنا أو أنا أفضل حالا دون جعل الشخص الآخر أسوأ حالا. وبالتالي ، لم يكن التخصيص الأولي فعالاً.

يوضح لنا المثال أعلاه أنه إذا لم تكن MRS للفردين متساوية ، إذا كانت MRS II أقل ، على سبيل المثال ، من I ، فعلينا أن نتخلص من الوحدة الهامشية Q الجيدة ، من الفرد II إلى أنا الذي MRS أعلى ، ويسلب منه جيدة س 2 في الصرف.

كلما واصلنا العملية ، سترتفع MRS of II مع انخفاض كمية Q 1 معه وتناقص MRS I مع زيادة كمية Q 1 معه ، وكما رأينا ، يصبح التوزيع أفضل في بمعنى باريتو. لذلك ، إذا أردنا الوصول إلى وضع باريتو الفعال ، يتعين علينا مواصلة العملية حتى تصبح MRS للشخصين متساوية.

لأنه عندما تكون MRS الخاصة بالشخصين متساوية ، لن يكون من الممكن إعادة توزيع أخرى لفعل واحد على الأقل دون الإضرار بالآخر. لفهم هذا ، دعونا نفترض أن MRS لكل من الأشخاص متساوون ، وأنها تساوي 4.

في هذه الحالة ، إذا أخذنا وحدة واحدة من Q 1 من المستهلك II ومنحناها للمستهلك I ، فإن الأخيرة تعطينا 4 وحدات من Q 2 في تبادل من أجل الحفاظ على مستوى المرافق له سليمة. إذا قدمنا ​​الآن هذه الوحدات الأربع إلى الفرد الثاني ، فستفترض فائدته المستوى الأولي. أي أنه عن طريق إعادة توزيع البضائع ، لم نتمكن من تحسين مستوى المرافق لأحد الأشخاص على الأقل. على العكس من ذلك ، فإن إعادة توزيع البضائع من شأنها أن تبقي الأفراد على مستويات فائدتهم الأولية.


5. باريتو الأمثل في الاستهلاك أو التبادل والمنافسة المثالية:

يمكن أن يُظهر بسهولة أن تحقيق باريتو الأمثل في الاستهلاك يتحقق تلقائيًا في ظل المنافسة الكاملة. بالنسبة للمنافسة الكاملة ، تُعطى الأسعار P 1 و P 2 للسلعتين للمستهلكين ، ويعادل كل مستهلك لزيادة الفائدة MRS لـ Q 1 لـ Q 2 مع نسبة أسعار البضاعة.

وهذا هو ، بالنسبة للمستهلك الأول ، نحصل على:

وهي ليست سوى حالة باريتو الكفاءة (21.16) أو (21.11).

وبالتالي ، فإن المنافسة الكاملة تضمن باريتو الكفاءة في توزيع السلع بين المستهلكين.


6. شروط باريتو الأمثل عندما تكون الآثار الخارجية موجودة:

تم الحصول على الشرط الهامشي للتوزيع الفعال باريتو لكميات معينة من سلعتين (س 1 و س 2 ) بين الشخصين (الأول والثاني) على النحو الوارد في (21.18) على أساس افتراض أن العوامل الخارجية في الاستهلاك غائب.

سنرى الآن أنه إذا كانت الآثار الخارجية موجودة ، فإن شرط تحسين باريتو في الاستهلاك يختلف بشكل عام عن الحالة الهامشية (21.18).

دعنا نفترض أن الآثار الخارجية موجودة في الاستهلاك ، بمعنى أن مستوى فائدة أحد المستهلكين يعتمد أيضًا على استهلاك شخص آخر.

لنفترض أن وظائف الأداة المساعدة للمستهلكين يتم توفيرها بواسطة:

سيتم تحقيق أمثلية Pareto إذا كان u 1 خاضعًا للحد الأقصى لمستوى معين من u 2 = u0 2 .

لاشتقاق شروط هذا التقييد المقيد ، يجب أن نشكل وظيفة Lagrange:

المعادلة (21.23) هي الشرط "الضروري لباريتو الأمثل في الاستهلاك عند وجود آثار خارجية. يختلف بشكل عام عن حالة الهامش الأمثل في باريتو على النحو الوارد في (21.18) أو (21.16) أو (21.11).

اكتمال الكمال يضمن تحقيق (21.11) ولكن ليس من (21.23). يتضح من (21.23) أنه إذا كانت الآثار الخارجية غائبة ، فسيكون لدينا ∂u 1 / ∂q 21 و 1u 1 / ∂q 22 و 1u 1 / ∂q 11 و 2u 2 / ∂q 12 ، الكل يساوي الصفر ، ومن ثم (21.23) كان يمكن أن يقل إلى (21.11).

نظرًا لأننا افترضنا هنا أن المشتقات الجزئية لوظائف الأداة المساعدة هي وظائف لجميع المتغيرات ، بمعنى ، q 11 و q 12 و q 21 و q 22 ، يعتمد الموضع الأمثل لكل مستهلك على مستوى استهلاك الآخر.

على سبيل المثال ، إذا افترضنا أن التأثير الخارجي الوحيد الموجود في نموذج المستهلك هما ∂u 2 / ∂q 11 0 ، ثم تصبح المعادلة (21،23):

يفهم حدسي لماذا هذا هو الحال. إذا زاد استهلاك المستهلك الأول للربع الأول ، فإن مستوى المرافق للمستهلك الثاني ينخفض. هذا يعني أن الأهمية الهامشية لل Q 1 للمستهلك II كبيرة نسبياً ، والتي ، مرة أخرى ، تعني أن MRS Q1 ، Q2 للمستهلك II يجب أن تكون أصغر في حالة التوزيع الأمثل للبضائع.

في هذا التوزيع مقارنةً بالتوزيع المعادل MRS ، ستكون كمية Q 1 التي يمتلكها المستهلك II أكبر من الكمية التي يمتلكها المستهلك الأول.

يمكن إظهاره بشكل تخطيطي بمساعدة الشكل 21.3 أن الشرط (21.16) لا يضمن بالضرورة باريتو الأمثل في وجود تأثيرات خارجية. الشكلان 21.3 (أ) و 21.3 (ب) يعطينا خريطة اللامبالاة للمستهلكين الأول والثاني ، على التوالي. لنفترض أنه في البداية ، يستهلك المستهلك I المجموعة A ويستهلك المستهلك II المجموعة E.

إن MRS Q1 و Q2 للمستهلكين متساويان في نقاط تعظيم الفائدة الخاصة بهما ، بالنظر إلى أسعار السلع. دعونا الآن نفترض أنه لا توجد تأثيرات خارجية للمستهلك I ، أي أن مستوى المنفعة لا يتأثر باستهلاك II.

على الرغم من أن مستوى فائدة المستهلك II يتأثر باستهلاك المستهلك I. فلنفترض ، كما فعلنا أعلاه ، أنه كلما استهلكت أكثر من Q 1 ، انخفض مستوى المرافق في II ، أي 2u 2 / ∂q 11 <0 هذا هو التأثير الخارجي الموجود هنا.

الآن ، في الشكل 21.3 (ب) ، تم رسم منحنيات لامبالاة المستهلك II (الصلبة) على افتراض أن استهلاك I يتم تقديمه من خلال المجموعة أ. في مواقف التوازن الفردية الخاصة بهم ، يكون مؤشر فائدة المستهلك I هو 100 ومؤشر II هو 80.

دعونا الآن نعيد توزيع السلع بين الشخصين بحيث تظل الكميات الإجمالية دون تغيير ، وأنتقل إلى النقطة C التي تحتوي على أقل من Q 1 وأكثر من Q2 و II تنتقل إلى النقطة G التي تحتوي على أكثر من Q 1 وأقل من Q 2 ( AB = FG و BC = EF). مستوى فائدة المستهلك الذي لم أغيره بسبب إعادة التوزيع هذه - يظل في نفس IC.

ومع ذلك ، نظرًا لانخفاض استهلاك المستهلك الأول للربع الأول ، سيتأثر نمط عدم تفضيل المستهلك الثاني. تعطى له المرحلية الجديدة من المنحنيات المنقطة. أيضًا ، عند النقطة G ، ارتفع مستوى المرافق للمستهلك II إلى 90 نظرًا لأنني الآن أستهلك أقل من Q 1 .

لذلك ، عن طريق إعادة التوزيع ، تمكنا من رفع مستوى فائدة II ، ومستوى ثابت. وهذا يعني أن مراكز التوازن الأولية في A و E حيث كانت MRS للمستهلكين متساوية ، كانت Pareto غير مثالية. لذلك ، رأينا أن مساواة MRS للمستهلكين لا تضمن باريتو الأمثل.

في مواقف التوازن الحالية ، زادت MRS للمستهلك الأول منذ أن انتقل شمالًا غربًا على طول نفس IC ، وانخفضت MRS II منذ انتقاله جنوبًا ، ليس على طول IC نفسه ، ولكن على طول IC .

أي إذا كان التأثير الخارجي المذكور موجودًا ، ستكون MRS للمستهلك II أقل من تلك الخاصة بالمستهلك I. هذه النتيجة التي حصلنا عليها بالفعل في التحليل الرياضي المذكور أعلاه.


7. الكفاءة في تخصيص العوامل بين السلع ، أو الكفاءة في مزيج المنتجات أو تكوين الناتج:

تكون تركيبة الناتج أو مزيج المنتج فعالة من باريتو إذا كان من المستحيل زيادة فائدة فرد واحد دون تقليل فائدة الآخر من خلال إعادة توزيع العوامل بين السلع ، مما يؤدي إلى مزيج مختلف من المنتجات.

تنص الحالة الهامشية لمزيج منتج فعال من Pareto على أن المعدل الهامشي لتحويل المنتج (MRPT) في Q 2 إلى Q 1 يجب أن يكون هو نفسه المعدل الهامشي للاستبدال (MRS) في Q 1 لـ Q 2 ، لكل مستهلك.

هنا ، فإن MRPT من Q 2 إلى Q 1 تساوي الكمية التي يجب بموجبها تخفيض إنتاج Q 2 لإنتاج وحدة أخرى (أو هامشية) من Q 1 ، وعلى هذا النحو ، فهي تساوي الميل العددي لمنحنى إمكانية الإنتاج للاقتصاد أو الحدود (PPC أو PPF).

يمر PPC الخاص بالاقتصاد عبر كل مجموعات السلعتين (Q 1 و Q 2 ) والتي يمكن للكميات المتاحة من المدخلين (X 1 و X 2 ) إنتاج Pareto بكفاءة. بمعنى أن أي مجموعة من البضاعة الموجودة على قدرة شرائية PPC تعطينا الكمية القصوى من Q 1 التي يمكن إنتاجها وفقًا لإنتاج كمية معينة من Q 2 ، أو كحد أقصى Q 2 يخضع لكمية معينة من س 1 .

وبعبارة أخرى ، فإن توليفات البضاعة الموجودة على قدرة شرائية PPC هي تلك الموجودة في منحنى عقد Edge-Worth للإنتاج (CCP) [الشكل. 21.1]. أي أن هناك مراسلات فردية بين النقاط في CCP وتلك الموجودة على PPC. نظرًا لأننا نتحرك على طول CCP ، تزداد كمية إحدى السلع وتنخفض الكمية الأخرى ، فإن ميل PPC سيكون سالبًا.

أيضًا ، نظرًا لإزالة المزيد من المدخلات من إنتاج Q 2 والمشاركة في إنتاج Q 1 ، يمكن تحويل Q 2 إلى Q 1 بمعدل ثابت وفي هذه الحالة ستكون PPC خطًا مستقيمًا سالبًا منحدرًا مع ميله العددي أو MRPT كونه ثابتًا ، أو ، على الأرجح ، قد يتحول Q 2 إلى Q 1 بمعدل متزايد بسبب قانون تناقص المنتج الهامشي ، وفي هذه الحالة تكون قدرة شرائية PPC مقعرة للأصل مع يرتفع الميل العددي أو MRPT مع زيادة Q 1 و Q 2 يتناقص ، أي عندما نتحرك جنوبًا شرقًا على طول المنحنى. لقد أظهرنا هذين النوعين من PPC في الشكل 21.4.

الآن ، بما أن MRPT تُظهر المعدل الذي يمكن عنده تحويل سلعة إلى أخرى في الإنتاج ، وتُظهر MRS المعدل الذي يكون المستهلكون على استعداد فيه لتبادل سلعة مقابل أخرى ، لا يمكن الحصول على مزيج المنتجات الفعال من Pareto إلا إذا اثنين من معدلات متساوية. عندها فقط قد تكون خطط قطاع الإنتاج متوافقة مع خطط قطاع الأسرة ، وهما في حالة توازن.

قد نوضح الحجة بمساعدة مثال عددي بسيط. لنفترض أنه في أي تكوين منتج معين ، يكون MRPT هو 7 ، أي أنه يمكن تحويل 7 وحدات من Q 2 إلى 1 وحدة من Q 1 .

من ناحية أخرى ، عند تكوين المنتج هذا ، تكون MRS لكل مستهلك ، على سبيل المثال ، 3. وهذا يعني ، لاستبدال وحدة إضافية (أو هامشية) من Q 1 ، يكون كل مستهلك مستعدًا للتخلي عن 3 وحدات من Q 2 ، أن مستوى فائدته قد تبقى ثابتة.

لتحسين وضع الرفاهية ، ما قد نفعله في هذه الحالة هو: قد نأخذ من كل وحدة مستهلك 1 من Q 1 وفي مكانها قد يكون لدينا 7 وحدات من Q 2 ومن ثم ، من بين هذه الوحدات السبع ، قد نقوم give 3 units to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 . We are then left with 4 units of Q 2 for each consumer.

If their number is 2, then we are left with 8 units of Q 2 some of which we may give to consumer I and some to consumer II. Thus the utility level of both the consumers would increase. This shows us that the initial situation of MRPT ≠ MRS was Pareto-non-optimal.

Now, as we take away Q 1 from each consumer, his MRS Q1, Q2 would increase (from 3) and as we move northwestward along the PPC curve to have Q 2 in its place, the MRPT would decrease (from 7). We have to continue the process unless at some product composition MRPT becomes equal to MRS.

Therefore, the marginal condition for the Pareto-efficient product-mix gives us that the MRPT between the products should be equal to the MRS of each consumer. It may very well be seen that once these two become equal, no improvement in welfare can be achieved by any further change in product composition.

For example, if both MRPT and MRS are equal to 5, say, then, if we take away 1 unit of Q 1 from each consumer, 5 more units of Q 2 would be obtained in its place, and all of these 5 units would have to be given to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 —to keep him on his initial utility level. Thus, nothing would be available for any improvement.

On the basis of the above analysis, we may write the marginal condition for the Pareto- efficient product-mix or composition of output as

MRPT Q2 into Q1 = MRS Q1, Q2 of consumer I = MRS Q1, Q2 of consumer II (21.25)


8. Pareto-Optimal Composition of Outputs and Perfect Competition:

Like the other two marginal conditions, the third marginal condition of Pareto-efficient composition of output is also guaranteed by perfect competition, where the prices p 1 and p 2 of the goods Q 1 and Q 2, are given to the two firms and two consumers.

Also, in profit-maximising equilibrium under perfect competition, we have the marginal cost of production (MC 1 ) of Q 1 equal to pi and the marginal cost of production (MC 2 ) of Q 2 equal to p 2 (ie, p 1 = MQ and P2 = MC 2 ).

We have seen above that the Pareto-efficient product-mix cannot be obtained unless the MRPT of Q 2 into Q 1 and the MRS of Q 1 for Q 2 for each consumer are equal, and that this condition is guaranteed under perfect competition. We may now see graphically how eqn. (21.28) can be solved for the combination of the two goods that would make the production sector's plans consistent with the household sector's plans.

We have obtained, therefore, that the equilibrium commodity combination for our society consisting of two profit-maximising firms and with given quantities (x0 1 and x0 2 ) of two inputs, is the one where the condition given by equation (21.27) or equation (21.28) is satisfied.

We might remember at this point that the PPC passes through the commodity combinations implicit at the points on Edgeworth contract curve for production (CCP), ie, these commodity combinations on the CCP have been mapped into the PPC, or, there is a one-to-one correspondence between these commodity combinations implicit at the points on the CCP and those lying on the PPC.

(21.27) gives us that the point where the condition for equilibrium commodity combination is satisfied is the point of tangency between the PPC curve and line of slope –p 1 /p 2 . In Fig. 21.5, AB is this line, say, and it has touched the PPC curve at the point E. Therefore, the society's equilibrium production point is the point E, and it should produce q0 1 and q0 2 of the two commodities.

We may now come to the distribution of the goods between the two consumers, I and II. They have to be so distributed that the Pareto-efficiency in consumption is achieved, ie, the marginal condition for such efficiency is satisfied.

As we know, this marginal condition is:

We also know that the satisfaction of this condition is guaranteed under perfect competition, since both of them would be equal to p 1 /p 2 which is given and constant:

In Fig. 21.5, the Pareto-efficient distribution of the goods is obtained at the point e on the Edgeworth contract curve for consumption (CCC), for, at this point, both the indifference curves (ICs) of the two consumers have touched the line A'B' which is parallel to the line AB.

That is, in order to obtain the Pareto-efficient distribution of the goods, we have to find out the point (like e) on the Edgeworth CCC at which the numerical slopes of the ICs of the two consumers are equal to p 1 /p 2 which is here the numerical slope of the line AB.

To be more specific, as the solution of eqn. (21.26), we have obtained the economy's production of the two goods to be E(q0 1 q0 2 ) and by solving (21.17), we would obtain the distribution of these quantities between the two consumers (at the point e) to be (q0 11, q0 12 ) for the first consumer and (q0 21, q0 22 ) for the second consumer.


 

ترك تعليقك