الإحلال وتأثير الدخل (مع المعادلات) | مستهلك

في هذه المقالة سنناقش تأثير الإحلال والدخل على ميزانية المستهلك.

لنفترض أن وظيفة الأداة الترتيبية للمستهلك هي

U = f (q 1 ، q 2 ) [مكافئ. (6.1)]

حيث q 1 و q 2 هي كميات البضائع Q 1 و Q 2 ، على التوالي ، و U هو رقم الأداة الترتيبي.

يمكن كتابة قيود ميزانية المستهلك على أنها y = p 1 q 1 + p 2 q 2 [مكافئ. (6.23)]

حيث يو هو دخله الثابت والمقدم ، و 1 p 2 هي الأسعار المعطاة للسلعتين.

يتعين على المستهلك العقلاني تعظيم U كما هو موضح في (6.1) مع مراعاة قيود الميزانية (6.23).

لمعرفة شروط مثل هذا التقييد المقيد ، دعونا نشكل وظيفة لاغرانج ذات الصلة:

V = f (q 1 ، q 2 ) + λ (y ° - p 1 q 2 - p 2 q 2 ) [مكافئ. (6.24)]

حيث λ هو لاغرانج المضاعف و V هي دالة q 1 q 2 و λ. أيضا V تساوي متطابقة U لقيم q 1 و q 2 التي تفي بقيود الميزانية. تعظيم الحد الأقصى من U ثم سيكون نفس الشيء تعظيم بسيط من V.

سيتم توفير شروط الترتيب الأول (FOCs) الخاصة بالحد الأقصى المقيد لـ U عندئذٍ بواسطة:

الكميات التي يتم شراؤها من قبل المستهلك العقلاني ترضي دائما eqns. (6.25) - (6.27). عادة ما تغير التغيرات في الأسعار والدخل خطة الشراء الخاصة به ، ولكن الكميات الجديدة (والأسعار والدخل) يجب أن تفي بالشروط (6.25) - (6.27) إذا كان U هو أن تعظيم.

ابحث عن حجم تأثيرات تغييرات السعر والدخل على مشتريات المستهلك. للقيام بذلك ، اسمح لجميع المعلمات ، بمعنى ، p 1 p 2 و y ، أن تختلف في وقت واحد. افترض أيضًا أنه نتيجة لهذه التغييرات المستقلة ، ستتغير الكميات التي يشتريها المستهلك بمقدار dq 1 و dq 2 .

إذا أخذنا الفوارق الإجمالية بين (6.25) - (6.27) ، لدينا:

F 11 dq 1 + f 12 dq 2 - p 1 dλ = λ dp 1 ........... (6.64)

F 21 dq 1 + f 22 dq 2 - p 2 dλ = λ dp 1 ………… (6.65)

1p 1 dq 1 –p 2 dq 2 = - dy + q 1 dp 1 + q 2 dp 2 …… (6.66)

قبل حل نظام المعادلات (6.64) - (6.66) ، دعونا نلاحظ أن المصطلحات على RHS لهذه المعادلات هي ثوابت وأنها معروفة لنا لأن هذه المصطلحات تنطوي على تغييرات مستقلة والقيم الأولية للمتغيرات المختلفة.

تشكل مجموعة المعاملات على LHSs للمعادلة محدد هسه المحدود التالي:

حلول نظام المعادلات (6.64) - (6.66) التي تم الحصول عليها بمساعدة قاعدة كريمر ، هي:

حيث D ij هو العامل المساعد للعنصر في الصف إيث والعمود jth من D.

بقسمة طرفي (6.68) على dp 1 وافتراض أن p 2 و y لا تتغير (على سبيل المثال ، dp 2 = dy = 0) ، لدينا

الآن فكر في تغيير السعر الذي يتم تعويضه عن طريق تغيير الدخل الذي يترك المستهلك على منحنى اللامبالاة الأولي. في هذه الحالة ، سنحصل

بما أنه في حالة التوازن ، يعطي f 1 / f 2 = p 1 p 2 ، (6.27)

وبالتالي من المعادلة (6.66) نحصل عليها

ومن (6.68) ، نحصل عليه

لذلك ، (6.70) يمكن الآن كتابة:

تُعرف المعادلة (6.5) باسم معادلة Slutsky. لاحظ الآن أن p 2 و q 1 و q 2 تظل ثابتة ، إذا كان هناك ارتفاع (هبوط) في p 1 بواسطة وحدة واحدة صغيرة من المال ، فإن إنفاق المستهلك سيرتفع أيضًا (يسقط) بمقدار ∂ / ∂p 1 ( p 1 q 1 + p 2 q 2 ) = q 1 وحدة من المال.

هذا الارتفاع (السقوط) في الإنفاق سيجبر المستهلك على اقتراض (توفير) ف 1 وحدة من المال للحفاظ على خطة الشراء (س 1 ، س 2 ). لهذا السبب ، فإن هذا الارتفاع (السقوط) في الإنفاق بمقدار q 1 وحدة من المال يعادل الانخفاض (الارتفاع) في دخله (الحقيقي) بمقدار q 1 وحدة من المال.

لذلك يمكن كتابة كـ ∂y / ∂p 1 = -q 1 (وحدات من المال) واستبدالها في (6.75) للحصول على معادلة Slutsky في شكل مختلف كما هو موضح في (6.76) أدناه:

الطلب على تعويض هيكس وسلوتسكي:

الكمية ∂q 1 / ∂p 1 على LHS لمعادلة Slutsky (6.75) أو (6.76) هي حد فاصل من وظيفة الطلب العادية على Q 1 ، والمصطلح الأول على RHS هو ميل وظيفة الطلب المعوض لـ س 1 (بناءً على معيار التعويض الهيكسي).

يتمثل معيار التعويض البديل (معيار Slutsky) في أن يتم توفير دخل كافٍ للمستهلك لشراء باقة الاستهلاك السابقة بحيث يكون dy = q 1 dp 1 + q 2 dp 2 . هذا هو

والتي يمكن استبدالها بالفترة الأولى على RHS من (6.75) أو (6.76).

للوهلة الأولى ، قد يكون من اللغز أن مخططي التعويض المختلفين قد أدىا إلى نفس النتيجة. ومع ذلك ، فإنها تشير فقط إلى نفس الاشتقاق ، أي أنها تشير فقط إلى تغيير في q لتغير صغير بلا حدود في نقطة ما ، وقد تؤدي إلى نتيجة مختلفة تمامًا لأي حركة سعرية محددة. وبعبارة أخرى ، لتغيير صغير بلا حدود في ص 1 ،

تظهر تأثير مختلف تماما على س 1 .

نموذج مرونة معادلة Slutsky (مرونة الطلب العادي والتعويض ):

يمكن أيضًا التعبير عن معادلة Slutsky من حيث مرونة السعر والدخل.

ضرب (6.75) في p 1 / q 1 وضرب المصطلح الأخير على RHS في السنة / السنة ، وحصلنا على

المعادلة (6.78) هي تمثيل مرونة معادلة Slutsky (6.75) أو (6.76). إنه يعطي أن مرونة السعر لمنحنى الطلب العادي (ϵ 11 ) تساوي مرونة السعر لمنحنى الطلب المعوض (ξ 11 ) ناقصًا مرونة الدخل المقابلة (η 1 ) بسبب التغيير في p ، مضروب في نسبة إجمالي الإنفاق على Q ،

وبالتالي ، سيكون لمنحنى الطلب العادي مرونة أقل من منحنى الطلب المعوض ، مع الأخذ في الاعتبار القيم السلبية ϵ 11 و ξ 11 والقيمة الموجبة لـ r | ،. أي أنه من الناحية العددية ، سيكون لمنحنى الطلب العادي مرونة أكبر من منحنى الطلب المعوض.

الآثار المباشرة :

المصطلح الأول على RHS من (6.75) أو (6.76) هو تأثير الإحلال (SE) أو المعدل الذي يستبدل به المستهلك Q 1 لل Q 2 عندما يتغير سعر Q 1 ويتحرك على طول IC. المصطلح الثاني على اليمين هو تأثير الدخل (EE) من التغيير في ص 1 .

افترض الآن أن الدخل فقط يتغير و dp 1 = dp 2 = 0. ثم يصبح (6.81)

نظرًا لأن D موجبة ، فإن معدل التغير في MU من دخل الدخل wrt سيكون له نفس علامة - (ص 11 و 22 - f2 12 ). هذا سيكون سلبيا إذا كانت وظيفة الأداة مقعرة بدقة. ومع ذلك ، بالنسبة لوظائف المنفعة الترتيبية ، لا يُفترض إلا شبه تقعر صارم ، ولا تتنبأ النظرية بما إذا كانت MU للدخل في ازدياد أو تناقص مع الدخل.

بواسطة (6.74) ، SE هي (D 11 / D) λ. بما أن D موجبة ، D 11 = −p2 2 سالبة و X موجبة ، SE سالبة بوضوح. هذا يثبت أن علامة SE دائمًا سلبية ومنحنى الطلب المعوض دائمًا منحدر إلى أسفل.

قد يتسبب التغير في الدخل الحقيقي في إعادة تخصيص موارد المستهلك حتى لو لم تتغير الأسعار النسبية ، أي إذا لم تتغير الأسعار المطلقة أو إذا تغيرت في نفس النسبة. تأثير الدخل للتغير في p 1 هو (/y / ∂p 1 ). (1q 1 / ∂y) p's = const. وقد يكون من أي علامة. التأثير النهائي لتغيير السعر على شراء السلعة غير معروف.

ومع ذلك ، لا يزال يمكن استنتاج مهم. أصغر كمية Q 1 ، أصغر ستكون قيمة ∂y / ∂p 1 وأقل أهمية هو تأثير الدخل. تسمى السلعة Q 1 سلعة رديئة إذا تقلصت شراء المستهلك مع ارتفاع الدخل وتزايده مع انخفاض الدخل ، أي 1q 1 / ∂y إذا كانت سالبة ، وهذا يجعل تأثير الدخل موجبًا (مقابل /y / ∂) ص 1 هو دائما سلبية).

بمعنى آخر ، تأثير الدخل على سلعة دنيئة إيجابي.

سلعة Giffen هي سلعة رديئة ذات تأثير دخل إيجابي كبير بما يكفي لتعويض تأثير الإحلال السلبي وجعل تأثير السعر ، 1q 1 / ∂p 1 ، موجبًا. هذا يعني أنه إذا كانت Q 1 جيدة Giffen ، فعندما تقع p 1 ، تسقط q 1 أيضًا.

قد يحدث هذا إذا كان المستهلك فقيرًا بدرجة كافية بحيث يتم إنفاق جزء كبير من دخله على سلعة مثل القمح الذي يحتاجه من أجل عيشه. افترض أن سعر القمح يسقط.

المستهلك الذي ليس مولعا بالقمح قد يكتشف فجأة أن دخله الحقيقي قد زاد بشكل كبير نتيجة لانخفاض الأسعار. سيشتري بعد ذلك كمية أقل من القمح ويشتري حمية أكثر قبولا مع ما تبقى من دخله.

معادلة Slutsky لوظيفة محددة - مثال توضيحي :

يمكن اشتقاق معادلة Slutsky لوظيفة الأداة المساعدة المحددة U = q 1 q 2 (1)

قيد الميزانية في النموذج الضمني العام هو: y 0 - p 1 q 1 - p 2 q 2 = 0 (2)

قم بتكوين الدالة Lagrange V = q 1 q 2 + X (y 0 - p 1 q 1 - p 2 q 2 ) (3)

تحديد مشتقات جزئية تساوي الصفر:

من (13) و (14):

الآن نأخذ y = 100 ، p 1 = 2 ، p 2 = 5 ، قيم التوازن q 1 و q 2 ستكون

الآن استبدال القيم المطلوبة في (15) ، يتم الحصول على إجابة رقمية

معنى هذا الجواب هو هذا. إذا بدأ التغيير من وضع التوازن الأولي ، فستتغير ص 1 ، مع افتراض ثبات ، فإن شراء المستهلك ل Q 1 سيتغير في الاتجاه المعاكس بمعدل 12. وحدات لكل دولار من التغير في سعر Q 1 .

التعبير –p 2 λ / 2p 1 في (13) هو SE ، وقيمته في المثال الحالي هي p 2 λ / 2p 1 = - [(p 2 / 2p 1 ) (y / 2p 1 p 2 )] = - [(5/2 × 2) (100 / 2x2x5)] = - 6.25. التعبير - q 1 / 2p 1 في (13) هو تأثير الدخل. قيمتها أيضا - 6.25.

آثار الصليب:

قد يتم تمديد معادلة Slutsky (6.75) وشكل مرونتها (6.78) لشرح كيف سيتغير الطلب على إحدى السلع (Q 1 ) بسبب التغيرات في سعر سلعة أخرى (س 2 ). من (6.68) ، نحصل عليها

هنا ϵ 12 = مرونة السعر للطلب العادي على Q 1 wrt p 2 ،

ξ 12 = مرونة السعر للطلب المعوض على Q 1 wrt p 2 ،

η 1 = مرونة دخل الطلب لل Q 1

و α 2 = نسبة إجمالي النفقات التي تم إنفاقها في Q 2 .

لذلك ، يعطي eqn (6.88) أن المرونة المتقاطعة للطلب العادي على Q 1 wrt p 2 تساوي المرونة المتقاطعة للطلب المعوض على Q 1 wrt p 2 مطروحًا منها مرونة دخل الطلب على Q 1 مضروبة في نسبة إجمالي النفقات التي تم إنفاقها على Q 2 .

الآن ، علامة تأثير استبدال التبادل غير معروفة بشكل عام. دع S 12 = D 21 λ / D تشير إلى تأثير الاستبدال عند ضبط كمية Q 1 كنتيجة للتغير في سعر Q 2 . بما أن D هي المحدد المتماثل ، D 12 = D 21 ، ويترتب على ذلك S 12 = S 21 .

بمعنى أن تأثير الإحلال (SE) على Q 1 الناتج عن تغيير في p 2 هو نفس تأثير SE على Q 2 الناتج عن تغيير في p 1 . هذا هو في الواقع خاتمة رائعة. مجموع مرونة الطلب المعوض عن Q 1 كنتيجة للتغيرات في p 1 و p 2 هي

هنا P 1 D 11 + p 2 D 21 تساوي الصفر ، لأنه تمدد المحدد (6.64) - (6.66) من حيث العوامل المساعدة الغريبة ، أي العوامل المساعدة لعناصر العمود الأول مضروبة في سلبية للعناصر في العمود الأخير. من (6.89) ، لدينا

ξ 11 + ξ 12 (6.90)

أي أن مرونة طلب التعويض على Q ، wrt p ، تساوي مرونة مرونة الطلب على Q ، wrt p 2 . الآن الحصول على استنتاج آخر مثير للاهتمام.

مجموع سالب مرونة الطلب العادي لـ Q ، الناتج عن التغيرات في p ، و p 2 كما هو موضح في (6.78) و (6.88):

لذلك ، تم الحصول على أن مرونة دخل الطلب على سلعة ما تعادل سلبي مجموع مرونة السعر المعتادة للطلب على تلك السلعة بتفوقها على السعر الآخر. وبعبارة أخرى ، فإن مجموع مرونة الأسعار الخاصة ، ومرونة الأسعار المتقاطعة ، ومرونة الدخل للطلب على سلعة ما في نموذج جيد ، تساوي الصفر.

البدائل والمكملات :

يتم تعريف سلعتين سلعتين بديلتين إذا كان المستهلك من الممكن استخدام واحدة منها للآخر ، وهما مكملان إذا تم استخدامها بشكل مشترك من أجل تلبية بعض الاحتياجات الخاصة. على سبيل المثال ، الشاي والقهوة بديلان والشاي والسكر مكملان.

ومع ذلك ، يتم توفير تعريف أكثر صرامة للبدائل والتكامل من خلال مصطلح الاستبدال التبادلي لمعادلة Slutsky (6.85) ، بمعنى ، D 21 λ / D. تعتبر البضاعة Q 1 و Q 2 بدائل إذا كان تأثير الاستبدال الوارد في هذا المصطلح موجبًا ، ويكون مكملاً إذا كان سالبًا.

إذا كان كل من Q 1 و Q 2 بدائل ، بشكل فضفاض ، وإذا كان تعويض التغيرات في الدخل يبقي المستهلك على منحنى اللامبالاة نفسه ، فإن الزيادة في سعر Q 2 ستحث المستهلك على استبدال Q 1 للسؤال 2 . ثم (∂p 1 / ∂p 2 ) U = ثابت سيكون موجبًا ، وسيكون سالبًا في حالة المكملات.

الآن ، لا يمكن أن تكون جميع السلع مكملة لبعضها البعض. وبالتالي ، يمكن أن يحدث فقط الاستبدال في حالة جيدة الحالية اثنين. هذا يمكن أن يثبت بسهولة. لنضرب (6.70) في p 1 ، (6.71) في y ، و (6.83) في p 2 ، ونضيف. ثم

المصطلح الأخير بين قوسين يساوي الصفر لأنه تمدد من حيث العوامل المساعدة الغريبة كما في (6.89).

وبالتالي:

في (6.92) ، يكون تأثير الإحلال ، S 11 ، لـ Q 1 الناتج عن التغييرات في p 1 سالبًا. وبالتالي ، (6.92) يعني أن S 12 يجب أن تكون إيجابية ، وهذا يعني ، بحكم تعريفها ، أن Q 1 و Q 2 هما بدائل بالضرورة.

 

ترك تعليقك