التيار المركزي: رؤية قريبة

معنى التيار المركزي :

العديد من المشاكل في الاقتصاد والإدارة تنطوي على توزيعات التردد. في توزيعات التردد ، يواجه المرء بعض القيم التي تحدث بشكل متكرر بينما القيم الأخرى أقل تكرارًا.

لكي تكون أكثر تحديدًا ، في العديد من توزيعات التردد ، تُظهر القيم المجدولة ترددات أصغر في البداية وفي النهاية وترددات أكبر أو أعلى في منتصف التوزيع.

يشير هذا إلى أن القيم النموذجية للمتغير تقع بالقرب من الجزء المركزي من مجموعة التوزيع أو القيم الأخرى أو المجموعة حول هذه القيم المركزية. هذا السلوك للبيانات حول تركيز القيم في الجزء المركزي من التوزيع يسمى الاتجاه المركزي (أو موقع) البيانات.

يمتلك المتغير ، كما نعلم ، عددًا من الملاحظات التي تتغير بمرور الوقت (تسمى بيانات السلاسل الزمنية) أو المساحة (تسمى بيانات المقطع العرضي). إذا فحصنا المجموعة الكاملة من الملاحظات بعناية شديدة وبكثافة كبيرة نجد أن هذه القيم لها ميل عام للتجمع حول قيمة مركزية أو نموذجية موجودة تقريبًا في الموضع المركزي. تسمى القيمة المحددة التي تم تحديدها بالقيمة المركزية وتتم الإشارة إلى هذه الظاهرة على أنها الاتجاه المركزي للمتغير. المتوسطات من عدة أنواع محسوبة هي المقاييس المعتادة لمثل هذا الميل لمتغير معين.

عادة ، نحن على دراية بثلاثة أنواع من الاتجاهات المركزية للمتغير ، وهي المتوسط ​​والوسيط والوضع من القيم المتاحة للمتغير المحدد. مرة أخرى ، تكون الوسائل من ثلاث فئات: المتوسط ​​الحسابي (AM) والمتوسط ​​الهندسي (GM) والمتوسط ​​التوافقي (HM).

يمكننا تمثيلهم بالطريقة التالية.

تصنيف تدابير الميل المركزي للمتغير ضمن نطاق معين من الاختلافات:

نطبق عادةً ما يلي لوضع تقدير لمثل هذا الميل لمتغير معين يظهر مع عدد من القيم المنفصلة:

تصنيف التيار المركزي:

(معنى:

(ط) المتوسط ​​الحسابي

(2) المتوسط ​​الهندسي

(ج) يعني التوافقي

(ب) الوسيط ،

(ج) وضع البيانات المجمعة (ذات الترددات) وغير المجمعة (بدون ترددات).

تدوين الجمع (∑):

الرمز ∑ هو حرف العاصمة اليونانية سيجما الذي يشير إلى المبلغ. دع الرمز X i (اقرأ x subscript i) يشير إلى أي من القيم X 1 X 2 ، X 3 ... X n ، يفترض بواسطة متغير x. يُطلق على الحرف الذي أقف عليه أي من الرقم 1 ، 2 ... n اسم المشترك.

تعني:

المتوسط ​​أو المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من قيم المتغير هو القيمة التي يتم الحصول عليها بعد قسمة مجموع جميع قيم المتغير المعطى على عددها.

يكون المتوسط ​​الحسابي عادةً من نوعين:

(أ) المتوسط ​​الحسابي البسيط ، و

(ب) المتوسط ​​الحسابي المرجح.

صباحا بسيط:

المقياس الأكثر شيوعًا للاتجاه المركزي هو الوسط الحسابي. يتم تعريفها على أنها تساوي مجموع القيم العددية لكل ملاحظة مقسومة على العدد الإجمالي للرصدات. بمعنى آخر ، يتم حسابه عن طريق إضافة قيم العناصر في مجموعة الملاحظات وقسم الإجمالي على عدد العناصر أو الملاحظات.

يتم تعريف الوسط الحسابي رمزياً على النحو التالي:

في المعادلة (8.1) ، x (read x bar) هي الوسط أو الوسط الحسابي.

إنها القيمة التمثيلية لجميع الملاحظات المقدمة على متغير.

مثال 1:

ابحث عن متوسط ​​الأجر للعاملين العشرة الذين يعملون في وحدة صناعية صغيرة في قرية:

X: 88 ، 72 ، 33 ، 29 ، 70 ، 54 ، 86 ، 91 ، 57 ، 6

المحلول:

المبلغ المطلوب لأجور هؤلاء العمال العشرة هو:

يتضح من المعادلة (8.1) أو المثال 1 أنه في حالة حدوث X 1 أو x 2 وما إلى ذلك مع الترددات ، قل f 1 و f 2 وما إلى ذلك ، تصبح AM

عندما يكون N = ∑f هو التردد الكلي أو إجمالي عدد المشاهدات.

مثال 2:

إذا كانت درجات الطلاب الستة عشر في الامتحان هي 55 و 68 و 36 و 28 تحدث بترددات 3 و 2 و 4 و 6 و 1 على التوالي. يحسب صباحا.

المحلول:

يتم حساب الوسط الحسابي على أساس المعادلة (8.2)

مثال 3:

يتم الحصول على العلامات التالية بواسطة Il-yr. الطلاب في امتحان الصف من أصل 10. تم اكتشاف نتيجة امتحان واحد وتم تضمينها فيما بعد وكان المتوسط ​​المحسوب هو 3. حدد درجة آخر اختبار.

1 ، 1 ، 0 ، 2 ، 0 ، 3 ، 0 ، 4 ، 8 ، 6 ، 5.

المحلول:

نظرًا لإدراج أحد الممتحنين الإضافيين في العملية ، أصبح العدد الإجمالي للامتحانات 12 ، وبالتالي يجب أن تكون علاماتهم الإجمالية 12 × 3 = 36.

مرة أخرى ، كان مجموع العلامات التي حصل عليها الطلاب الأحد عشر السابقون 30.

لذلك ، كانت النتيجة من آخر واحد

36 - 30 = 6.

صباحا المرجحة:

يولي الوسط الحسابي أهمية متساوية لجميع العناصر أو الملاحظات. في الحقيقة ، كل هذه الملاحظات قد لا تجتذب نفس الأهمية أو الترجيح. قد تتلقى بعض الملاحظات وزنًا أكبر مقارنةً بالآخرين. على سبيل المثال ، يتم تخصيص أوزان أكبر لاحتياجاتنا اليومية (على سبيل المثال ، الطعام) ويتم إعطاء أوزان أقل للسلع الفاخرة في ميزانية عائلتنا.

وتسمى هذه الأهمية التي تعلق على عناصر مختلفة مع أرقام (أو أرقام) وفقا لأولوياتها الأوزان. عندما يتم التعبير عن الوسط مع الأوزان الخاصة ، يحصل المرء على AM. كثيرا ما يستخدم هذا النوع من الوسط لدراسة المشاكل الاقتصادية المختلفة.

لاحظ التشابه بين المعادلتين (8.2) و (8.3). وبالتالي ، يمكن اعتبار المعادلة (8.2) بمثابة AM الموزون مع الأوزان f 1 ، f 2 …… f n .

مثال 4:

ابحث عن AM الموزون للأرقام الأربعة المحددة 92 و 125 و 180 و 80 التي لها ترددات كل منها 12 و 7 و 6 و 9.

المحلول:

يمكن التعبير عن AM الموزون للأرقام الأربعة المحددة بتردداتها الخاصة على النحو التالي:

مثال 5:

حساب المتوسط ​​الحسابي لمجموعة كسب الأجر التالية من العمال.

المتوسط ​​المركب من مجموعتين منفصلتين:

عندما تُعطى مجموعتان منفصلتان تحتويان على ملاحظات n 1 و n 2 مع حسابهما المعنيين x̅ 1 و x̅2 للمتغير ، يمكن تحديد الوسط المركب لهاتين المجموعتين معًا من خلال العلاقة التالية:

تمثل x̅ هنا الوسيط المركب أو الشائع للمجموعتين المعنيتين معًا.

مثال 6:

احسب المتوسط ​​المركب لرواتب موظفي إدارتين مختلفتين للمؤسسة.

الجدول: 8.3: حساب المتوسط ​​المركب

خصائص مهمة من AM:

(أ) مجموع مجموعة من الملاحظات المعطاة يساوي ناتج عدد ملاحظاتهم و AM.

مزايا وعيوب AM:

وفقا للإحصائي الشهير ومؤلف هذا الانضباط GU Yule ، المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​مرض.

لديها المزايا التالية:

(أ) يمكن فهمه بسهولة.

(ب) من السهل والدقيق حسابها.

(ج) مناسب للعلاج الجبري.

(د) يظل خاليا من تقلبات أخذ العينات.

(هـ) حسابه يشمل جميع قيم المتغير المعطى.

(و) يمكن تعريفه بشكل صارم.

(ز) أنها قابلة للاستخدام بأمان ويمكن التعبير عنها في جميع الحالات.

ومع ذلك ، الوسط الحسابي ليس خاليا من أي عيوب. البعض منهم مذكور أدناه:

(أ) لا يمكن تحديد الوسط الحسابي من مجموعة من الملاحظات المعينة إلا من خلال الملاحظات.

(ب) لا يمكن حسابه بشكل صحيح عندما تكون هناك ملاحظة واحدة مفقودة أو مرفوضة من مجموعة البيانات المحددة.

(ج) لا يمكن أبدًا حسابها بشكل صحيح ما لم يتم توفير الملاحظات بالكامل على المتغير المحدد في وقت واحد.

(د) يولي الوسط الحسابي أهمية أكبر للعناصر الأكبر حجمًا بينما تحظى العناصر الأصغر باهتمام أقل.

(هـ) يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه ليس متوسط ​​موقع على هذا النحو. يحتاج فقط الحسابات الرياضية.

(و) أخيرًا ، يشير المتوسط ​​الحسابي البسيط إلى رقم رقمي ولا شيء آخر.

ومع ذلك ، فإن الوسط الحسابي هو نوع شائع من الأدوات الإحصائية الأولية ويستخدم على نطاق واسع في التحليلات الإحصائية المختلفة. اليوم ، يتم استخدامه كتمثيل شائع جدًا للاتجاه المركزي للمتغير ، وبالتالي يتم استخدامه بشكل متكرر لعدة أغراض تحليلية.

معنى جنرال موتورز:

المتوسط ​​الهندسي مثل AM هو أيضًا متوسط ​​محسوب. ومع ذلك ، يعد نوعًا آخر من الأجهزة الإحصائية لتحديد الاتجاه المركزي لمتغير له عدد محدد من الملاحظات. بتعبير أدق لمجموعة من الملاحظات n ، يتم تحديدها كجذر n لمنتجها.

رمزيًا ، المدير العام لرصد المتغير (x) الذي يحتوي على:

GM (بالنسبة للرصد n معًا للمتغير x) لمجموعة من الأرقام الموجبة n X 1 ، X 2 ... .. X n هو الجذر رقم n لمنتج تلك الأرقام

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه إذا كان عدد الملاحظات أكثر من 3 ، كما هو موضح سابقًا ، فسيصبح الحساب صعبًا ومملًا للغاية. في ضوء هذا النوع من المشاكل ، يوصى باستخدام اللوغاريتمات. بمعنى آخر ، يتم استخدام اللوغاريتمات لتبسيط الحساب عندما يكون عدد الملاحظات كبيرًا بدرجة كافية. من أجل حساب الآلية العالمية التي نستخدمها في كثير من الأحيان

إذا حدث X1 X2 ... .Xn مع الترددات (أو الأوزان) f 1 ، f 2 ... f n على التوالي ، يتم إعطاء الآلية العالمية بواسطة:

مزايا وعيوب جنرال موتورز:

يحتوي الوسط الهندسي ، مثل الوسط الحسابي ، على عدد من المزايا والعيوب.

وترد هذه بالترتيب أدناه:

(أ) يمكن تعريفها بشكل صارم

(ب) يتم حسابه على أساس جميع ملاحظات المتغير.

(ج) من السهل جدًا حساب المعدلات المطلوبة للنسب والمعدلات والنسب المئوية بمساعدة الآلية العالمية.

(د) لا يتأثر بالقيم الاستثنائية والكبيرة أو الصغيرة للغاية للمتغير.

(هـ) يعطي أعلى وزن لأقل ملاحظة وأقل وزن لأعلى ملاحظة ، وبالتالي يوازن الإجراء بأكمله للحصول على أفضل نتيجة.

(و) مناسب جدًا لاستخدامه في علاجات رياضية مختلفة بعد ذلك.

(ز) يساعد في حساب تحديد أسعار الصرف بين عملات مختلف البلدان.

مساوئها مذكورة أدناه:

أ. من الصعب جدًا حساب الوقت الذي يتم فيه تقديم البيانات بطريقة توزيع تردد مجمّع له ترددات كبيرة بأعداد كافية.

ب. تصبح النتيجة بلا معنى إذا كان أي من المعلومات صفرًا أو سالبًا.

ج. النتيجة التي تم الحصول عليها في النهاية قد لا تكون مساوية لأي من الملاحظات الواردة في السلسلة.

د. أنه يعطي أهمية أقل للملاحظات الهامشية والمتطرفة.

ه. في بعض الحالات ، لا يمكن أن تلعب الدور كممثل حقيقي للمتوسط.

F. عادة ما يبرز خاصية نسبة التغييرات وليس اختلافات التغيير.

حساب الآلية العالمية:

مثال 1:

ابحث عن الآلية العالمية للرصدات 12 و 18 و 48 و 61 لمتغير له أوزانه 5 و 3 و 2 و 8 على التوالي

المحلول:

دعونا نعد البيانات في شكل جدول وذلك لحساب الآلية العالمية.

مثال 2:

الآلية العالمية من ثلاثة أرقام هي 15 والأرقام هي 5.25 و x ، والعثور على قيمة س

المحلول:

ونحن نعلم أنه لثلاثة أرقام معا

خصائص مهمة من جنرال موتورز :

(أ) عندما تكون الملاحظات على المتغير المعطى متساوية في الحجم ، فإن الوسط الهندسي يساوي قيمتها المشتركة.

بشكل رمزي ، نكتب:

X G = (C n) 1 / n = C

هنا ، يأخذ المتغير المعطى x عدد n من المشاهدات التي تساوي بشكل فردي C.

(ب) لوغاريتم الوسط الهندسي لمجموعة من قيم المتغير هو المتوسط ​​الحسابي لوغاريتماتهم.

(ج) إذا كانت y عبارة عن دالة لمتغير x في النموذج y = ax ، فإن الوسط الهندسي لـ y يرتبط بعلامة x في النموذج المماثل أي y G = ax G حيث y y و X G هما الشكلان الهندسيان يعني ذ و س ، على التوالي

(د) الوسيلة الهندسية لنسبة المتغيرين هي نسبة الوسائل الهندسية الخاصة بهم:

(هـ) إذا كانت هناك مجموعتان من قيم المتغير X تتكون من n 1 و n 2 و G ، و G2 هما الوسيلتان الهنديتان الخاصتان بهما ، فإن الوسط الهندسي للمجموعة المدمجة يعطى بواسطة:

معنى التوافقي يعني:

يُعرَّف الوسط التوافقي لمجموعة من الملاحظات على متغير بأنه المعامل المتبادل للمتوسط ​​الحسابي لمقلوب الملاحظات المحددة (يجب ألا تكون أي من الملاحظات صفراً).

إذا كان المتغير المشار إليه هو X والذي يأخذ عدد n من القيم x 1 ، x 2 ، x 3 ، ... x n ومقلداتها هي:

بالنسبة للرصدات ذات الترددات الخاصة بكل منها ، يمكن حساب HM الموزون على النحو التالي:

إنه نوع خاص من المتوسط ​​المستخدم في بعض المواقف المختارة.

خصائص مهمة للجلالة :

(أ) إذا كانت القيم المعطاة للمتغير متساوية جميعها (لكن ≠ 0) فإن متوسطها التوافقي سيكون مساوياً لقيمتها المشتركة.

هنا ، n هو العدد الإجمالي لملاحظات المتغير و c هي القيمة المشتركة.

(ب) إذا كان المتغير y مرتبطًا بمتغير X آخر في النموذج y = ax ، فإن الوسط التوافقي y هو مرتبط بمتغير x في الشكل المماثل:

(ج) إذا كانت n 1 و n 2 عبارة عن مجموعتين من قيم المتغير x والوسائل التوافقي الخاصة بكل منهما هي H 1 و H 2 ، عندئذ يتم إعطاء الوسط التوافقي للمجموعة المدمجة (H) بواسطة:

حساب جلالة الملك :

مثال 1:

احسب المتوسط ​​التوافقي البسيط للأرقام 3 و 6 و 24 و 48.

المحلول:

بتطبيق مبدأ HM نحصل على:

مثال 2:

حدد HM الموزون لرصدات المتغير X مما يلي:

مزايا وعيوب جلالة الملك :

مثل كل الأجهزة ذات الاتجاه المركزي المذكورة سابقًا ، فإن الوسط التوافقي يحتوي أيضًا على عدد من المزايا والعيوب.

وهذه هي:

مزايا الوسط التوافقي:

(أ) يتم تعريفها بشكل واضح وجامد

(ب) يتم حسابه على أساس جميع المعلومات المتاحة على المتغير.

(ج) إنه مناسب جدًا للاستخدام في التحليلات الرياضية المختلفة.

(د) لا يزال يتأثر إلى حد ما بسبب تقلبات أخذ العينات.

(هـ) يمكن حسابه بسهولة وبالتالي فهو دقيق بطبيعته.

(و) لها دائما قيمة محددة.

(ز) ينظر في ملاحظة أصغر ذات أهمية أكبر والعكس صحيح.

(ح) نظرًا لأنه يقيس التغييرات النسبية في الملاحظات المعطاة للمتغير ، فإنه يصبح مفيدًا تمامًا لإيجاد متوسطات لبعض النسب والمعدلات.

عيوب الوسط التوافقي:

(أ) النتيجة الموجودة عادة لا وجود لها في سلسلة معينة من الملاحظات على المتغير.

(ب) ليس من السهل تفسيره وحسابه وبالتالي فهمه.

(ج) يكون مقيدًا كثيرًا بمعنى أنه لا يمكن حسابه إذا كانت أي من الملاحظات صفرية.

(د) لها تطبيقات محدودة في المواقف العملية.

العلاقة المتبادلة بين AM و GM و HM:

دعنا ننظر في أبسط مثال على متغير X له ملاحظتان فقط x 1 و x 2 (على سبيل المثال ، وجهان لعملة واحدة).

يمكن تمديد نفس التحليل لأي عدد من الملاحظات على متغير ويمكن بسهولة تأسيس نفس النتيجة.

العلاقات المهمة الأخرى هي:

2. AM = GM = HM عندما تكون جميع الملاحظات على المتغير متطابقة في الحجم.

AM> GM> HM للرصدات غير المتجانسة.

رمزيًا ، نحن نعممها

AM> GM> HM

لكن بالنسبة لأي رقمين مختلفين ، تتحول العلاقة إلى:

AM x HM = (GM) 2

ستصبح كل المتوسطات متساوية مع بعضها البعض عندما يفترض المتغير ملاحظات متطابقة.

الوسيط:

يتم تحديد متوسط ​​مجموعة من الملاحظات على متغير كقيمة متوسطة من تلك المجموعة من الملاحظات. بالنسبة لمجموعة من البيانات غير المجمعة مرتبة إما بترتيب تصاعدي أو تنازلي ، يتم حساب القيمة المتوسطة أو الوسيط على أنها القيمة (N + 1/2) - القيمة لعدد فردي من الملاحظات. ولكن بالنسبة لعدد من الملاحظات ، فإن الوسيط سيكون متوسط ​​القيمة (N / 2) و (N + 1/2) - القيمة لتلك الملاحظات.

من الواضح إذن أن الوسيط يقسم السلسلة بأكملها إلى جزأين متساويين. إنه متوسط ​​الموضعية ولا يتأثر بوجود قيمة كبيرة أو صغيرة للغاية. يمكن أيضًا حسابه من توزيع تردد مجمّع مع فئات مفتوحة.

مثال 1:

أوجد القيمة المتوسطة لـ: Rs. 110 ، روبية. 90 ، روبية. 40 ، روبية. 50 ، روبية. 125 ، روبية. 65 ، وروبية. 100.

المحلول:

ترتيب القيم المعطاة بترتيب تصاعدي ، نحصل على التسلسل كـ Rs. 40 ، روبية. 50 ، روبية. 65 ، روبية. 90 ، روبية. 100 روبية 110 و ، روبية. 125. وهكذا ، ن = 7. منذ 7 هو رقم فردي. هناك قيمة واحدة فقط في الوسط وهي

- أي ،

القيمة الرابعة. لاحظ أن الصمام الرابع = Rs. 90. ومن ثم ، بحكم التعريف ، القيمة المتوسطة هي روبية. 90.

مثال 2:

أوجد الوسيط للقيم: 25 ، 24. 23 ، 32 ، 40 ، 27 ، 30 ، 25 ، 20 ، 10 ، 15 ، 45.

المحلول:

ترتيب القيم المعطاة بالترتيب التصاعدي ، نحصل على التسلسل 10 ، 15 ، 20 ، 23 ، 24 ، 25 ، 25. 27 ، 30 ، 32. 40 و 45.

وبالتالي ، n = 12 ، نظرًا لأن الرقم 12 متساوي ، فإن له فترتين متوسطتين هما المصطلحان السادس والعاشر ، أي 25 و 25.

وبالتالي ، الوسيط بحكم التعريف

هذا النوع من حساب القيمة المتوسطة لا يعتبر توزيع التردد. وبالتالي ، فإن حساب الوسيط ليس بسيطًا لمثل هذه السلسلة.

بدلاً من ذلك ، نعتزم حساب المتوسط ​​لكل من البيانات غير المجمعة والمجمعة. دعونا نفكر في البيانات غير المجمّعة أولاً. في هذه الحالة ، نحسب أولاً الترددات التراكمية المقابلة لكل قيمة للمتغير. ثم تكون قيمة المتغير المقابل للتردد التراكمي (n + 1/2) هي القيمة المتوسطة حيث n = ∑f = إجمالي التردد.

على أساس المثال 3 ، نود حساب التكرار التراكمي للبيانات غير المجمعة (الجدول 8.5).

مثال 3:

ابحث عن الوسيط من البيانات التالية:

المحلول:

يوضح الجدول 8.5 كيف يتم حساب التكرار التراكمي.

مثال 4:

النظر في توزيع الدخل التالي لمجموعة من 400 عامل في مصنع. تحديد الدخل المتوسط.

المحلول:

لاحظ أن البيانات متباعدة بشكل غير متساو ومفتوحة من كلا الطرفين.

من الجدول أعلاه ، من الواضح أن الوسيط يجب أن يحدث بين روبية. 109.5 و روبية. 139.5 كـ N / 2 = 200 يحدث في الفترة بين 196 و 336 كما هو موضح في الجدول. وبالتالي متوسط ​​= روبية. 109.5 + جزء من الفاصل الزمني للفصل (109.5-139.5). يمكن العثور على هذا الكسر عن طريق الاستيفاء البسيط.

نمضي على النحو التالي:

الفرق في التردد من 196 إلى 336 يناظر الفرق في الدخل من روبية. 109.5 إلى روبية. 139.5 ، أي ، يقابل الفرق 140 في التردد ، يوجد فرق في القيمة Rs. 30 في الدخل.

لذلك ، في مقابل اختلاف الوحدة في التردد ، سيكون هناك اختلاف قدره 30/140 روبية في الدخل.

ولكن ، للعثور على الوسيط ، نود المضي قدمًا إلى التردد التراكمي 200 ، أي بفارق 200 - 196 = 4.

وبالتالي ، سيكون هناك اختلاف قدره Rs ، في مقابل اختلاف قدره 4 في التردد. 30/140 × 4 في الدخل. هنا روبية. 30/140 × 4 = روبية. 0.85 هو الكسر المراد إضافته. وبالتالي ، فإن متوسط ​​روبية. (109.5 + 0.85) = روبية. 110.35.

من الواضح من المثال أعلاه أن حساب الوسيط من توزيع التردد ذي الأطراف المفتوحة لا ينتج عنه أي صعوبة ما لم يقع الوسيط في فئة x مفتوحة. يجب أن نلاحظ أيضًا أنه عند اكتشاف الوسيط للتوزيع المجمع ، يجب استخدام حدود الفصل ، وليس حدود الفصل.

عند استيفاء القيمة المتوسطة في المثال أعلاه ، بدأنا من أعلى الجدول ، ولكن كان يمكننا البدء من أسفل الجدول أيضًا والحصول على نفس النتيجة. في بعض الأحيان ، يُذكر أن الوسيط يتوافق مع التردد التراكمي الذي يساوي (n + 1/2) حيث n هو التردد الكلي.

هذا صحيح بالنسبة للبيانات غير المجمعة الخام مع عدد فردي من الملاحظات. ولكن بالنسبة لتوزيعات التردد المجمعة ، يجب تجنب هذا الإجراء. وإلا ، فإن القيمة التي يتم الحصول عليها عن طريق الاستيفاء بدءًا من أعلى الجدول ستختلف عن القيمة التي يتم الحصول عليها عن طريق البدء من أسفل. هذا غير مرغوب فيه لأنه يجب تحديد متوسط ​​بشكل فريد.

يجب أيضًا ملاحظة أنه سواء وجدنا المتوسط ​​أو الوسيط من توزيع التردد ، فإن القيم التي تم الحصول عليها لن تكون هي نفسها القيم التي تم الحصول عليها من البيانات الأولية. هذا أمر طبيعي لأنه أثناء إجراء توزيع التردد هدفنا هو تكثيف البيانات ونتيجة هذا التكثيف هو فقدان بعض المعلومات.

مثال 5:

تمثيل البيانات التالية بمساعدة منحنيات التردد التراكمي - (1) أقل من (2) أكبر من الأنواع ، وكذلك تحديد القيمة المتوسطة للعلامات التي حصل عليها 100 طالب في الإحصاء:

توزيع التردد للعلامات التي حصل عليها 100 طالب في الإحصاء:

الآن ، نرسم الترددات التراكمية (من كلا النوعين) عموديا وعلامات المقابلة التي تم الحصول عليها أفقيا على مخطط مربع ثنائي الأبعاد وتتبع بسهولة منحنيي التردد التراكمي المطلوبين كما هو موضح أدناه:

يتم رسم منحني التردد التراكمي (1 و 2) من العلامات المعينة التي حصل عليها 100 طالب - (1) من الأسفل و (2) من الأعلى.

نجد الآن أن هذين المنحنيين يتقاطعان عند النقطة E ، ومن هنا نحصل على القيمة المتوسطة للعلامات التي حصل عليها هؤلاء الطلاب المائة على أنها (39.5 + 02.5) = 42.0 (الزراعة = 42)

مزايا وعيوب الوسيط :

في بعض الحالات ، يكون للوسيط مزايا كافية على الوسط الحسابي. إذا كانت مجموعة الملاحظة تحتوي على قيمة كبيرة أو قيمة صغيرة ، فقد لا يعطي المتوسط ​​الحسابي المقياس الصحيح. نحن نعلم أن دخل الفرد من الهنود منخفض للغاية مقارنة بدخل الفرد الأمريكي. وينطبق الشيء نفسه على دخل الفرد من الأغنياء والفقراء في الهند أيضا.

توجد فجوة هائلة في الدخل بين الأغنياء والفقراء. إذا ارتفع دخل الطبقات الأكثر ثراءً إلى حد كبير دون زيادة في دخل الفقراء ، فسوف يرتفع دخل الفرد في الهند. ولكن لا يمكن أن يسمى هذا أعلى للدخل دخل تمثيلي حقيقي. في مثل هذه الحالة ، ستكون القيمة المتوسطة للدخل أفضل تمثيلا للدخل الفردي.

الوسيط له مزايا وعيوب التالية:

مزايا:

(أ) من السهل فهمها وشرحها وسهولة حسابها.

(ب) يتم تعريفه بشكل صارم.

(ج) يمكن حسابه لتوزيع مفتوح.

(د) يتأثر بعدد الملاحظات وليس حجمها.

(هـ) لا يتأثر بالقيم القصوى.

عيوب:

(أ) لا يعتمد على جميع عناصر السلسلة.

(ب) أنها ليست مناسبة لمزيد من العلاج الجبري.

(ج) لا يستند إلى جميع القيم لأنه متوسط ​​موقع فقط.

(د) يتأثر كثيرا من تقلبات أخذ العينات بالمقارنة مع الوسط الحسابي.

الوضع:

إنها أداة إحصائية فعالة أخرى لقياس الميل المركزي للمتغير. بالنسبة لمجموعة من الملاحظات على متغير منفصل ، يُطلق على المتغير الذي له أعلى تردد وضعه. وضع مجموعة من الأرقام هو تلك القيمة التي تحدث بسمعة أكبر تردد وبهذا المعنى ، فهي القيمة الأكثر شيوعًا.

لتبسيط الأمر ، دعونا نأخذ في الاعتبار الأشكال التالية:

3 ، 5 ، 8 ، 5 ، 4 ، 6 ، 5 ، 9 ، 5

هنا ، يكون وضع هذه الأرقام هو 5 لأنه ظهر أعلى وقت (4 مرات) في سلسلة هذه الأرقام.

ومع ذلك ، قد لا يكون هناك أي وضع لسلسلة لا يوجد فيها تكرار لأي رقم معين ، وبالنسبة لبعض المسلسلات الأخرى ، يمكن أن توجد قيمتان أو أكثر من أنماط الوضع ، تسمى سلسلة ثنائية أو ثلاثية مشروطية. في معظم الحالات ، نجد وضعًا واحدًا في سلسلة من الأرقام (أو الترددات) ، نسميها توزيع تردد أحادي الوسائط.

من الناحية العملية ، من الأسهل تحديد قيمة وضع المتغير عندما يكون منفصلاً عن الطبيعة مقارنةً بالمتغير المستمر. بالنسبة للمتغير المستمر ، ترتبط قيمة الوضع بشكل وثيق بالقيمة عند نقطة الذروة لمنحنى التردد الخاص بها. وبالتالي ، بالنسبة لهذا النوع من المتغيرات ، تتمثل المهمة الأساسية في استخلاص منحنى التردد من البيانات المعطاة ثم تحديد القيمة الأعلى المناظرة لنقطة الذروة في المنحنى.

ولكن ، في عدد من المواقف ، يمكننا تحديد القيمة الشرطية للمتغير دون تتبع منحنى تردده باستخدام الصيغة التالية:

توجد طريقتان معتادتان لحساب قيمة وضع المتغير:

1. عن طريق رسم منحنى التردد ، و

2. باستخدام الصيغة المقررة.

يمكن الآن شرح طريقة حساب قيمة الوضع من توزيع التردد المجمع ، كما هو موضح في الجدول 8.9:

مثال:

المحلول:

مراقبة الجدول عن كثب. نجد أن أعلى تردد هو 34 وهو يحدث داخل الفاصل الزمني للفصل 28-32 حيث تكون حدود الفئة 27.5-32.5.

يمكننا الآن اكتشاف القيم التالية بسهولة كما يلي:

L 0 = 27.5 ، f 0 = 34 ، f -1 = 24 ، f 1 = 28 ووضعها في الصيغة التالية:

لذلك ، قيمة الوضع المطلوبة هي 30.62. في حالات أخرى ، مع فواصل زمنية غير متساوية ، يمكن تحديد طريقة التوزيع من خلال العلاقة المشتركة لكارل بيرسون التي تم تأسيسها باعتبارها Mean-Mode = 3 (Mean-Median) ، شريطة أن يتم تحديد الوسط والوسيط بالفعل.

مزايا وعيوب الوضع:

الوضع هو مقياس مفيد للاتجاه المركزي إذا كانت البيانات المقدمة نوعية في طبيعتها. نظرًا لأن الوضع هو القيمة التي تحتوي على أقصى تركيز حوله ، فإن لديه بعض الفضائل المميزة.

مزايا:

(أ) مفهوم الوضع أسهل للفهم.

(ب) لا يتأثر بالقيم القصوى للمتغير المحدد.

(ج) يتم تحديده غالبًا عن طريق الفحص فقط ، على الأقل من خلال توزيع تردد بسيط. وغالبا ما تستخدم في الأعمال التجارية.

(د) يمكن حسابه أيضًا من توزيع تردد مجمّع مع فصول مفتوحة.

سلبيات:

ومع ذلك ، فإن الوضع ، كمقياس للاتجاه المركزي ، ليس خالياً من أي عيوب.

وهذه هي:

(أ) من الصعب إلى حد ما إيجاد وضع محدد جيدًا في جميع الحالات.

(ب) لا يعتمد على جميع قيم المتغير المعطى.

(ج) أنها ليست مناسبة لمزيد من العلاج الجبري بسهولة وبسهولة.

(د) يتأثر بشكل كبير بتقلبات أخذ العينات.

الخصائص الأساسية للمتوسط ​​الإحصائي الجيد:

1. ينبغي بسهولة فهمها وحسابها. AM قادرة على حساب سهلة بالمقارنة مع جنرال موتورز أو HM. علاوة على ذلك ، فإن الوسيط وكذلك الوضع لديهم أيضًا بساطة في العمليات الحسابية.

2. يجب تحديد متوسط ​​جيد بشكل صارم ، أي أن القيمة المركزية أو متوسط ​​القيمة المحسوبة يجب أن تكون فريدة في طبيعتها ، وإلا فإن التقدير في حساب المتوسط ​​من قبل الإحصائيين قد يتسلل في عدة أخطاء بعد ذلك.

3. ينبغي أن تستند إلى جميع الملاحظات. على سبيل المثال ، AM فقط يعتمد على جميع الملاحظات. الوسيط والوضع ليس لديهم هذه السمة.

4. يجب أن تكون قادرة على العلاجات الجبرية بمعنى أنه ينبغي أن تكون قادرة على استخدامها في مزيد من الحسابات الإحصائية.

5. لا ينبغي أن تتأثر بشكل كبير بتقلبات أخذ العينات.

6. لا ينبغي أن تتأثر بالقيم القصوى للمتغير. على الرغم من أن الوسيط والوضع لا يتأثران بالقيم القصوى ، إلا أن AM تتأثر إلى حد كبير بالقيم القصوى - الكبيرة والصغيرة.

وبالتالي ، من الصعب للغاية العثور على مقياس مثالي للمتوسط ​​في عدة مناسبات.

العلاقة بين المتوسط ​​والوسيط والوضع:

يكون توزيع التردد لمجموعة من الملاحظات المعطاة على متغير من نوعين - أحدهما يسمى التوزيع المتماثل أو العادي حيث يتزامن المتوسط ​​والوسيط والأسلوب مع بعضهما البعض والآخر هو واحد غير متماثل حيث الوسط ، والمتوسط ​​و الوضع مختلف في الحجم ، وتسمى التوزيع المنحرف.

في مثل هذه التوزيعات المنحرفة ، لوحظ وثبت أنها تحافظ على علاقة فريدة فيما بينها:

متوسط ​​- الوضع = 3 (متوسط ​​- متوسط) ،

دعا العلاقة كارل بيرسون.

هنا ، يمكننا بسهولة معرفة قيمة واحدة عندما تكون القيمتان الأخريان معروفتين بالفعل. ومع ذلك ، يمكن تطبيق هذه العلاقة بأمان فقط من أجل التوزيعات الأحادية الواسطة والمتحيزة بشكل معتدل.

مرة أخرى ، نجد أن الوسطي والوسيط يفيان بشروط التعريف والاستقرار الصحيحين ، لكن فيما يتعلق بحساباتهما عدديًا ، فإن الوسيط أسهل في الحساب من المتوسط. على العكس من ذلك ، تؤثر التقلبات العامة في أخذ العينات على الوسيط بدرجة أكبر من المتوسط ​​، على الرغم من وجود بعض الاستثناءات أيضًا.

فيما يتعلق بالمعالجات الجبرية لهذه الأجهزة لقياس الميل المركزي للمتغير ، فإن المتوسط ​​هو بالتأكيد الأفضل. في الحالة التي يتم فيها دمج عدة سلاسل تتعلق بواحد مشترك واحد معًا في واحد ، يمكننا معرفة المتوسط ​​المجمع من المتوسطات المنفصلة للسلسلة المختلفة وعدد ملاحظاتها. لكن لا يمكن أن يكون ذلك ممكنًا في حالة الوسيط.

بالنسبة لمجموعة من الملاحظات المعطاة للمتغير ، فإن الوسيط ، بالطبع ، له بعض المزايا على متوسطه. يمكن حسابها بسهولة ويمكن الحصول عليها بسهولة حتى بدون وجود مجموعة كاملة من الملاحظات على المتغير فقط عندما يتم ترتيبها بشكل صحيح.

علاوة على ذلك ، في بعض المواقف الخاصة ، لا يمكن حساب الوسط حيث يتم ترك الفواصل الزمنية القصوى غير محددة (أي غير محدودة) ولكن يمكن الحصول على الوسيط منها بسهولة. في الواقع ، في العديد من الحالات ، يمكن أن يظهر الوسيط كممثل مثالي في الاتجاه المركزي للملاحظات على متغير لأنه لا يتأثر بعناصره القصوى.

علاوة على ذلك ، تم الاتفاق على أن الوسط سيتأثر بالتأكيد بسبب تقلبات أخذ العينات التي لا يمكن تجنبها ولكن ليس الوسيط وبهذا المعنى ، يتم التعرف على الوسيط كمتوسط ​​أكثر طبيعية لتمثيل الملاحظات المعطاة على المتغير أكثر من الوسط.

من المناقشة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج بأمان أنه لن يكون من الحكمة اختيار واحد معين كأفضل من التدابير الثلاثة المتاحة للاتجاه المركزي للملاحظات المحددة على متغير في جميع الحالات. في الواقع ، بناءً على طبيعة وجودة البيانات المقدمة وهدف الدراسة ، من المهم أن يقوم المستخدم أو الباحث والباحث باختيار الأنسب أو المثالي للوفاء بالغرض الخاص به.

في هذا السياق ، يصف علماء الرياضيات والإحصائيون "المتوسط" باعتباره المثالي الذي يقبله في كثير من الحالات عن الحالتين الأخريين. على وجه الخصوص ، عندما يهتم المحقق بالاختتام في جانب معين يتم توفيره مع عينة معينة من السكان المرتبطين بها ، فإن الوسط هو بلا شك أفضل خيار للاختيار والاستخدام دون تردد.

 

ترك تعليقك