نموذج Cournot ونموذج Stackelberg (مع مخطط)

نموذج Cournot وحل Cournot:

تم نشر أول نموذج احتكاري للاحتكار من قبل الاقتصادي الفرنسي أنطوان أوغستين كورنو (1801-1877) في عام 1838. على الرغم من أن نموذج كورنو كان يستند إلى بعض الافتراضات غير الواقعية ، إلا أن طريقة تحليله كانت مفيدة للتطور النظري اللاحق في مجالات الاحتكار واحتكار القلة .

افتراضات كورنو النموذجي:

يستند نموذج Cournot إلى الافتراضات التالية:

(ط) لا يوجد سوى شركتين غير متواطنتين ، أي أنه يوجد أبسط مثال على احتكار القلة ، أي الاحتكار الثنائي.

(2) يقوم البائعان (المحتكرون) ، يقول A و B ، بإنتاج سلع متجانسة.

تتمثل الافتراضات الأخرى للنموذج (التي ستستخلص منها معظم النماذج التي تمت مناقشتها فيما يلي):

(3) المنتج قابل للتلف ، أي أنه لا يمكن تخزينه ويجب بيعه جميعًا خلال مدة الفترة.

(رابعا) هناك العديد من المشترين دراية للمنتج.

(5) يعرف كل من المحتكرون منحنى طلب السوق على المنتج.

(6) لدى الشركتين منحنيات تكلفة متطابقة ، ومن أجل جعل الأمر بسيطًا ، سنفترض أن تكلفة إنتاج كل ناتج تساوي صفرًا لكلتا الشركتين.

(7) تضع كل شركة خطة إنتاج في بداية كل فترة ، ولا يمكنها مراجعة الخطة خلال مدة الفترة.

(8) لا تحدد أي من الشركات سعرًا لمنتجها ، ويقبل كل منهما السعر الذي يمكن به بيع إجمالي الإنتاج المخطط له.

(9) يريد كل محتكر أن يكسب أقصى ربح في كل فترة.

(10) في حين أن المحتكرون يدركون الترابط المتبادل لخطط الإنتاج الخاصة بهم ، فإن كل واحد منهم يجهل تمامًا اتجاه وحجم التنقيح في خطة منافسه والذي يمكن أن يحدثه أي تغيير معين في بلده. لذلك ، سوف نفترض أن كل شركة احتكارية تفترض أنه ، بغض النظر عن خطة الإنتاج الخاصة به في أي فترة ، فإن منافسه سوف يحافظ على إنتاجه بنفس المستوى الذي كان عليه في الفترة السابقة.

منحنيات الربح Iso:

على أساس الافتراضات ، سوف نحصل على منحنيات الربح الأيزو لكل محتكر. كما يوحي الاسم ، فإن منحنى إيزو ربحي لشركة احتكارية ، A ، يعطينا مجموعات من مخرجات الاحتكاريين A و B ، والتي من شأنها أن تحقق نفس القدر من الربح لشركة الاحتكار أ.

ستبدو منحنيات الربح أيزو مثل تلك الواردة في الشكل 14.1 ، حيث يتم قياس ناتج A على طول المحور الأفقي وخرج B على المحور الرأسي.

تتمثل النقاط الموجودة في أي من هذه المنحنيات في مجموعات (q A ، q B ) لمخرجات فترة الاحتكارات لكل فترة من الشركات التي تعطي A نفس مقدار الربح لكل فترة. بمعنى آخر ، يمثل كل منحنى ربحي iso للربح مقدارًا معينًا من الربح ، وسنرى أن منحنى iso ربح أقل من A (أي ، أقرب إلى المحور الأفقي) يمنحه مبلغًا أعلى من الربح.

ولكن دعونا أولاً نوضح شكل منحنيات الربح الأيزو الموضحة في الشكل 4.1. من أجل القيام بذلك ، علينا أن نفهم العلاقة بين مخرجات وأرباح المتداولين ، A و B ، مع مراعاة الافتراضات المذكورة أعلاه.

في الشكل 14.2 ، تم إعطاء منحنى الطلب في السوق للمنتج DD b و OC هي أي كمية معينة من ناتج الاحتكاري ب. بما أن كل محترفي احتكاري يفترض أن ناتج منافسه يبقى ثابتًا في مكانه ، فإن العلاقة بين الناتج A (q A ) وسعر المنتج (p) سيتم تقديمهما الآن بواسطة الجزء dD 1 من منحنى طلب السوق DD 1 .

على سبيل المثال ، إذا كانت A تنتج وتبيع كمية CF من الإنتاج ، فإن إجمالي كمية الإنتاج المباع سيكون OF ، ويمكننا أن نعرف من منحنى الطلب ، DD 1 ، أن سعر المنتج عند هذه الكمية سيكون EF.

لذلك ، في ظل هذه الظروف ، سيكون منحنى الطلب الخاص بالاحتكار الثنائي A هو dD c ومحور الكمية ومحور السعر لمنحنى الطلب هذا ، على التوالي ، CT و Cd. الآن ، إذا كانت E هي نقطة الوسط للجزء dD 1 ، فإن الناتج B (q B ) يظل كما هو عند OC = ثابت ، إذا كانت q A تزداد من الصفر فصاعدًا (وتقلص p) ، إجمالي إيرادات A (R A ) وإجمالي الربح (π A ) ستزيد أيضًا حتى تصبح q A مساوية لـ CF.

هذا لأن المعامل العددي لمرونة سعر الطلب (e A ) أكبر من واحد (e A > 1) على الجزء dE من منحنى الطلب A ، والتكاليف الإجمالية لل duopolists (C A و C B ) في كل ناتج صفر [افتراض (سادسا)].

إذا زادت قيمة q A عن كمية CF (وتقلصت p) ، فإن إجمالي إيرادات A (R A ) وإجمالي الربح (n A ) سوف يتناقصان ، حيث أنه على الجزء ED من منحنى الطلب الخاص به ، تكون E A أقل من واحد (ه أ <1). عند النقطة E على منحنى الطلب A dD 1 لدينا = 1 والإيراد الهامشي لـ A (MR A ) = 0 ، وهكذا ، في E ، R A و π A كحد أقصى.

وبالمثل ، إذا كان في الشكل 14.2 ، فإن كمية الإنتاج المحددة من الاحتكاري B تكون OC '(OC'> OC) ، فإن منحنى الطلب A سيكون قطاع DD 1 من منحنى طلب السوق ، DD 1 . إلى جانب منحنى الطلب هذا ، مع زيادة q A (وتقلص p) على مدى C'F 'و R A و π A أيضًا ، بما أنه على الجزء d'E' من منحنى الطلب الحالي ، d'D 1 ، لديه ه> 1.

عند النقطة E '، وهي نقطة المنتصف للجزء dD 1 ، e A = 1 ، وبالتالي ، R A ، وكذلك π A ، هي الحد الأقصى. الآن ، علينا أن نلاحظ هنا:

الآن ، نظرًا لأنه من الواضح أن C'D 1 <CD 1 ، نحصل على C'F 'OC) ، يقل ناتج تعظيم الربح لـ A (C'F' <CF).

سنرى الآن ما سيكون تأثير الزيادة في إنتاج B (q B ) على ربح A عندما يظل إنتاج A (q A ) ثابتًا عند كمية معينة. في الشكل 14.3 ، DD ، هو منحنى الطلب في السوق للمنتج والإنتاج A (q A ) OV = ثابت.

في هذه الحالة ، نظرًا لأن B يزيد إنتاجه من صفر إلى VD 1 ، فإن سعر المنتج (p) سوف يتناقص وكذلك R A = π A من بيع ناتج q A = OV = ثابت ، سوف يتناقص .

لذلك ، في المناقشة أعلاه ، حصلنا على:

(1) إذا بقيت q B بدون تغيير عند أي كمية معينة (على سبيل المثال ، OC في الشكل 14.4) ، فحينما تزيد q A ، سترتفع would A في البداية ؛ ثم عند بعض المخرجات (مثل CF) ، ستكون π A كحد أقصى. إذا زاد إنتاج A بشكل أكبر ، فسوف تسقط A.

(2) كلما كانت الكمية الثابتة للقيمة B أصغر كلما كانت الكمية المربحة للربح أكبر من Q A. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى OC '> OC ، لقد حصلنا على C'F' <CF.

(3) إذا بقيت q A ثابتة عند كمية معينة مثل OV في الشكل 14.3 ، فسوف تسقط π A مع زيادة q B.

على أساس النقاط المذكورة أعلاه ، سنكون قادرين الآن على الوصول إلى شكل منحنيات الأيزو للربح أ. أ اثنين من هذه المنحنيات موضحة في الشكل 14.4. في هذا الشكل ، تم قياس ناتج duopolist A لكل فترة على طول المحور الأفقي وتم قياس إنتاج B لكل فترة على طول المحور العمودي.

بمعنى آخر ، تمثل النقاط في فضاء الخرج في الشكل 14.4 مجموعات مختلفة من النواتج A و B. وبالتالي ، فإن كل نقطة في هذا الفضاء تمثل ضمنيًا مزيجًا من R A و R B و ، لذلك ، من π A و π ب .

دعونا الآن نمثل ما حصلنا عليه في الشكل 14.2 في مخطط منفصل ، بمعنى ، الشكل 14.4. في الشكل 14.4 ، عند q B = OC = ثابت ، سيتعين على A إنتاج ناتج CF للحصول على أقصى ربح ، أي تركيبة المخرجات أو النقطة F (CF ، OC) الواقعة على الخط الأفقي ، Cx ، سوف تعطي A أقصى ربح عند q B = OC.

كما نعلم بالفعل ، فإن B تبقى ثابتة عند OC ، حيث أن q A تزيد من الصفر إلى CF ، π A تزداد ، ومن ثم ، كلما زادت q A إلى ما وراء CF ، تنخفض π A. لذلك ، عند النقاط على السطر Cx إلى يسار أو يمين F ، على سبيل المثال ، في النقطتين H 1 أو H 2 ، ستكون ربح A أقل من ذلك في النقطة F.

الآن عند النقطة H 1 ، أي عند الناتج CH ، (CH ، <CF) ، قد تحصل الشركة A على نفس الربح كما في F ، إذا انخفض إنتاج B بشكل كاف ، على سبيل المثال ، بواسطة H 1 T 1 ، من المستوى of OC ، لأنه إذا انخفض q B ، فسوف يرتفع سعر المنتج.

لذلك ، قد تكون π A هي نفسها عند النقطتين F و T 1 ، أي أن منحنى الربح iso من A قد يمر بالنقطتين T 1 و F. وبالمثل ، إذا تقلصت q B بما فيه الكفاية ، قل H H 2 T 2 ، من مستوى OC ، π A قد تكون هي نفسها عند النقطة F. لذلك ، قد يمر منحنى الربح الأيزو خلال T1 و F أيضًا بالنقطة T 2 .

لذلك ، كيف يمكننا الحصول على توليفات المخرجات من المحترفين الذين يعطون A نفس الربح كما هو الحال في النقطة F ، وقد حصلنا على أن المنحنى T 1 FT 2 هو أحد منحنيات الربح المتساوي I من duopolist A. يكون مقعرًا للمحور الأفقي وستكون أعلى نقطة في المنحنى هي F.

يتضح من بناء منحنى الربح iso T 1 FT 2 أن الخط الأفقي Cx يمس هذا المنحنى عند النقطة F. أيضًا ، F هو أقصى نقطة (أعلى) لمنحنى الربح iso T 1 FT 2 ، نظرًا لأن الخط الأفقي المستقيم (Cx) قد يمس منحنى أسفل مقعر (مثل T 1 FT 2 ) فقط عند الحد الأقصى للنقطة الأخيرة.

لاستكمال شرحنا لهندسة منحنيات الربح الأيزو ، علينا أن نرسم منحنى آخر مثل T 1 FT 2 . كما حصلنا بالفعل في الشكل 14.2 وتمثلنا الآن في الشكل 14.4 ، عند q B = OC '= ثابت (OC'> OC) ، فإن ناتج تعظيم الربح لـ A هو C'F '(C'F' < CF).

هذا هو الآن عند الناتج B = OC '= ثابت ، سيتم الحصول على ناتج تعظيم الربح A عند النقطة F' على الخط المستقيم الأفقي C'x '. بالتقدم بالطريقة نفسها كما في الحالة السابقة ، سنجد أن مستويات الربح عند النقطتين T 3 و T 4 ستكون هي نفسها عند النقطة F '.

لذلك ، يصبح المنحنى T 3 F'T 4 منحنى آخر ربحي iso للربح المحتكر A. كما في الحالة السابقة ، فإن الخط C'x "سوف يمس هذا المنحنى عند الحد الأقصى للنقطة الأخيرة ، F".

في الشكل 14.4 ، لقد حصلنا الآن على منحنيين متساويين في الربح من أخصائيي الاحتكار أ. يمكن الآن إدراج السمات العامة لهذه المنحنيات (لأي محتكر) في قائمة منهجية:

(أ) تكون منحنيات الربح المتساوي الأيزو مقعرة على المحور الذي يقاس على أساسه إنتاجه. في الشكل 14.5 ، قمنا بقياس ناتج الاحتكاري أ على طول المحور الأفقي. لذا فإن منحنيات الربح أيزو ستكون مقعرة لهذا المحور. وبالمثل ، إذا قمنا بقياس ناتج الاحتكاري B على طول المحور الرأسي ، فإن منحنيات الربح iso الخاصة بـ B ستكون مقعرة على المحور الرأسي.

(ب) في الشكل 14.4 ، حصلنا على: C'F '<CF. وهذا يعني أن الحد الأقصى للنقطة F 'لمنحنى الربح الأيزو العالي A سيكون أقرب إلى المحور العمودي من الحد الأقصى للنقطة F لمنحنى الربح الأدنى. وعلى نحو مماثل ، كلما كان منحنى iso الربح لـ B يكون من المحور الرأسي ، كلما كانت أقصى نقطة له ستكون على المحور الأفقي.

(ج) يمثل أعلى منحنى إيزو للربح من المحتكر مستوى ربح أقل. يتم الحصول على هذا من النقطة (iii) أعلاه التي تعطينا أنه ، فباقي ثابت عند كمية معينة ، فإن ربح AA ) سينخفض ​​مع ارتفاع q B. وبالمثل ، فإن منحنى أعلى iso الربح من الاحتكار ب يمثل مستوى أقل من الربح. لذلك ، فإن شركة الاحتكار الربحي التي تحقق أقصى قدر من الأرباح تسعى جاهدة للوصول إلى أدنى منحنى إيزو ربحي ممكن.

بعض من منحنيات إيزو للربح إيزوبوليست A و B التي تفترض الميزات المذكورة أعلاه ، تم عرضها في الشكل 14.5.

وظائف رد فعل Cournot المستمدة من منحنيات الربح Iso:

في الشكل 14.6 ، قمنا برسم بعض منحنيات الأيزو الربحية من أخصائيي الاحتكار أ. وقد يُسمى هذا الشكل أيضًا خريطة الأيزو للربح أ. من هذه الخريطة الأيزو للربح ، سوف نحصل على دالة تعبر عن مخرجات A لكل الفترة (q A ) كدالة لإخراج B (q B ). وتسمى هذه الوظيفة وظيفة رد الفعل (Cournot) للاثنائيين

قد نرى الآن كيف يمكننا الحصول على وظيفة رد الفعل من duopolist A من خريطته iso الربح الواردة في الشكل 14.6. كما نعلم بالفعل ، إذا تم إعطاء q B ، على سبيل المثال ، OC = ثابت ، فسوف يتم إعطاء ناتج تعظيم الربح من جانب البائعي A بنقطة الظل ، F ، بين الخط المستقيم الأفقي Cx وواحد من خطه المعادل منحنيات الربح ، هنا إذا. لأنه ، عند النقطة F ، تكون الشركة على منحنى الربح الأيزو الأدنى ، أي على أعلى مستوى ممكن من الربح الخاضع للإنتاج B = OC = ثابت.

الآن ، إذا زاد إنتاج B من OC إلى ، على سبيل المثال ، OC '، فسوف يتم إعطاء ناتج تعظيم الربح A من خلال النقطة F' وهي نقطة الملاءمة بين الخط المستقيم الأفقي C'x وواحد من الربح المتساوي المنحنيات ، بمعنى ، IA 2 .

وبالتالي ، لقد حصلنا على أنه إذا كانت q B هي OC ، فسيكون ناتج (تعظيم الربح) A ، q A ، هو CF وإذا كانت q B هي OC ، فإن q A ستكون C'F '. وبالمثل ، سوف نحصل على أنه إذا كانت q B هي OC "و OC" "، فإن q A ستكون ، C" F "و c" "F" "على التوالي ، وهكذا.

لذلك ، نحصل هنا q A كدالة لـ q B. الخط الذي من شأنه أن يعطينا وظيفة رد الفعل هذه الخاصة بـ duopolist A هو الخط الذي يجمع النقاط مثل F ، F '، F "، F" ، إلخ. في الشكل 14.6 ، تم الحصول على وظيفة رد الفعل A هذه لتكون خط RS.

سيكون خطًا ثابتًا إذا كان منحنى طلب السوق على المنتج خطًا مستقيمًا ، وسيكون منحدرًا سالبًا ، لأنه مع زيادة إنتاج B ، يتناقص ناتج تعظيم الربح من A.

لقد رأينا أعلاه كيف يمكننا الحصول على وظيفة رد الفعل من duopolist A. قد نحصل على وظيفة رد الفعل من duopolist B أيضا اتباع نفس الإجراء. هذه الوظيفة ستمنحنا ناتج تعظيم الربح من B كدالة لإخراج A. لقد فعلنا ذلك في الشكل 14.7 حيث حصلنا على خريطة إيزو للربح من الاحتكاري ب.

في هذا الشكل ، عند q A = OD = ثابت ، سيتم الحصول على أقصى ناتج ربح لـ B (q B ) عند نقطة الظل ، G ، بين الخط المستقيم الرأسي Dy وواحد من منحنيات الربح iso B ، أي. ، إذا . لأنه ، عند النقطة G ، تكون B على أدنى منحنى إيزو ربح ممكن خاضع q A = OD.

وبالمثل ، فكلما زاد q A إلى OD "و OD" و OD "" ، إلخ ، سيتم إعطاء q B على التوالي بالنقاط G "و G" و G "" ، إلخ. إذا انضممنا إلى هذه النقاط بسطر ، سوف نحصل على وظيفة رد الفعل لـ B ، والتي من شأنها أن تعطي ناتج B كدالة لوظيفة رد الفعل A. B مثل تلك الخاصة بـ A's ، ستكون أيضًا خط مستقيم منحدر سالبًا إذا كان منحنى الطلب في السوق للمنتج خطيًا.

الاشتقاق الرياضي لوظائف رد فعل Cournot :

على أساس الافتراضات المقدمة في نموذج Cournot ، يمكننا الآن اشتقاق وظائف رد فعل Cournot رياضيا.

لنفترض أن منحنى طلب السوق على المنتج هو

حيث ع = سعر المنتج

ف = كمية الطلب في السوق للمنتج

q A = الكمية المباعة من قبل المحتكرون A

ف ب = الكمية المباعة من قبل ب

a = التقاطع العمودي لمنحنى طلب السوق (14.9) = ثابت موجب

-b = ميل منحنى طلب السوق (14.9) = ثابت سالب

من أجل البساطة ، افترضنا هنا أن منحنى طلب السوق (14.9) هو خط مستقيم (سالب الميل).

بحكم التعريف ، تكون وظيفة TR (أو ببساطة R) الخاصة بالمؤثّر A (أي ، R A ) هي

تعطينا المعادلة (14.14) أن ناتج تعظيم الربح (أو التوازن) لعائدات الاحتكارات A (q A ) هو دالة ناتج عن المخترق B (q 0 ) ، أي من هذه الوظيفة ، نحن قادرون على معرفة المخرجات A في أي كمية معينة من الناتج B. وبعبارة أخرى ، (14.14) هي وظيفة رد الفعل من الاحتكاري أ.

كما يتضح من شكل المعادلة (14.14) ، تم الحصول على وظيفة رد الفعل A كخط مستقيم (سالب الميل) (مثل RS في الشكل 14.6).

هذا لأننا افترضنا هنا أن منحنى طلب السوق على المنتج هو خط مستقيم (سالب الميل).

كما قد نرى من المعادلات (14.9) إلى (14.14) أنه إذا كان منحنى طلب السوق (14.9) خط مستقيم ، فإن دالة R A (14.10) منحنى من الدرجة الثانية ووظيفة MR A (14.11) سيكون مشتق R A wrt q A ، خطًا مستقيمًا ، وتؤدي وظيفة الخط A MR هذه إلى وظيفة تفاعل خط مستقيم (14.14) عندما نضع MR A = MC A = 0.

الآن ، سيتم الحصول على وظيفة رد الفعل من duopolist B بنفس الطريقة ، وستكون هذه الوظيفة رد فعل

مثل وظيفة رد الفعل (14.14) للاثنائي الاحتكاري A ، فإن وظيفة التفاعل (14.17) للاثنائي ثنائي الاحتكار B ستكون أيضًا خط مستقيم مثل MN في الشكل 14.7.

التوازن في نموذج Cournot - الحلول التنافسية والاحتكارية والثنائية :

لقد رأينا أعلاه أن وظائف رد الفعل من جانب شركات الاحتكارات قد استمدت من شروط تعظيم الربح ، وبافتراض أن كلا من الشركات الاحتكارية تسعى إلى تحقيق هدف زيادة الأرباح. لذلك ، كلاهما يعتزمان البقاء على وظائف رد الفعل الخاصة بكل منهما.

في ظل هذه الظروف ، يمكن أن يحدث التوازن في نموذج Cournot فقط عند نقطة تقاطع وظيفتي التفاعل. بمعنى آخر ، سيتم الحصول على توازن التوازن لمخرجات البائعين إذا تم حل وظيفتي التفاعل في q A و q B. ولكن قبل القيام بذلك ، دعونا نلاحظ ما يلي.

كما نعلم ، شرط وجود توازن تنافسي هو p = MC. في نموذج Cournot ، في كل قيمة q a و q B ، افترضنا MC A = MC B = 0 [الافتراض (vi)]. لهذا السبب ، عند أي ناتج من الشركتين مجتمعين ، أي في أي q = q A + q B ، سيكون لدينا MC = 0. لذلك ، فإن شرط التوازن التنافسي سيكون p = MC = 0.

لذلك ، إذا وضعنا p = 0 في (14.9) ، فسوف نحصل على الحل التنافسي (الإخراج) في نموذج Cournot:

ف ج = أ / ب (14.18)

بعد ذلك ، دعونا نلاحظ أهمية تقاطعات وظائف رد فعل Cournot ، والتي ، كما نعلم ، تكون منحدرة سلبًا ، أي كلما زاد إنتاج أحد البائعين ، انخفض إنتاج تعظيم الربح للبائع الآخر.

لنفترض الآن أن وظائف رد الفعل A و B هي RS و MN في التين. 14.6 و 14.7. نحصل من وظيفة التفاعل RS التي ، مع ارتفاع q B إلى OR ، q a تنخفض إلى الصفر. إذا وضعنا q A = 0 في وظيفة التفاعل لـ (14.14) من A ، نحصل عليها

وهذا يعني أنه مع ارتفاع q B إلى OR = a / b ، q A تسقط إلى الصفر. وبعبارة أخرى ، فإن التقاطع العمودي OR لوظيفة رد الفعل A يساوي الناتج التنافسي. مرة أخرى ، نحصل على وظيفة رد الفعل A التي ، حيث أن ناتج B ينخفض ​​إلى الصفر ، ويصبح A محتكرًا ، أي ، نظرًا لأن الاحتكار يصبح احتكارًا ، يرتفع خرج A إلى OS الذي يسمى إخراج الاحتكار.

لذلك ، إذا وضعنا q B = 0 في وظيفة رد الفعل A ، فإننا نحصل على الحل الاحتكاري (q m ) لنموذج Cournot كما

دعونا الآن حل معادلات رد فعل Cournot (14.14) و (14.17) لقيم التوازن q a و q B. بدلًا من (14.17) إلى (14.14) ، حصلنا على

عرض هندسي لحل التوازن في نموذج Cournot :

ويستند حل Cournot على افتراضاته. يمكن اعتبار الافتراض الأخير [أي ، الافتراض (x)] هو الافتراض الرئيسي للنموذج. هذا الافتراض ساذج للغاية لأنه يعني أن المحتكرون لا يتعلمون من التجربة - فهم متمسكون بالاعتقاد بأن المنافس سيحافظ على إنتاجه على مستوى الفترة السابقة على الرغم من أنهم أثبتوا خطأً بشكل متكرر.

ومع ذلك ، كما سنرى ، فإن الافتراض الأخير ، على الرغم من أنه ساذج ، يعطي Cournot نموذجًا حاسمًا.

يستند تفسير Cournot إلى مثال على المياه المعدنية من ينابيع مجاورة. يتم إنتاج المياه المعدنية بدون تكلفة هامشية على المدى الطويل. يتضح تحليله عن طريق الشكل 14.8 ، حيث يتم إعطاء منحنى طلب السوق للمنتج DD 1 .

منحنى MR المرتبط بمنحنى الطلب هذا هو MR 1 . بما أن MC = 0 ، يكون الناتج التنافسي هنا هو q عند p = MC = 0. لذلك ، يتم الحصول على الناتج التنافسي ليكون Oq c في الشكل 14.8.

الناتج الاحتكاري ، من ناحية أخرى ، هو أحد الحالات التي تكون فيها الحالة MR = MC = 0 راضية. وبالتالي ، فإن الناتج الاحتكاري هنا هو Oq 1 وسعر الاحتكار هو Op 1 ، والربح الاحتكاري هو إجمالي الإيرادات Op 1 Aq 1 ، لأن التكلفة الإجمالية افتراضًا هي صفر. سيكون الحل الاحتكاري هو الحل إذا تواطأ اثنان من المحتكرين وشكلوا احتكارًا متعدد النباتات.

ومع ذلك ، يستمر حل Cournot لمشكلة الاحتكار الثنائي على النحو التالي:

دعونا نفترض أنه في البداية ، أي في الفترة 0 ، A هو البائع الوحيد في السوق. لذلك ، يتصرف مثل المحتكر وينتج المخرج (MR = MC = 0) ، Oq 1 = 1/2 Oq c ، ويبيع بسعر ، Op 1 ، ويجعل ربحًا مساويًا لمنطقة Op 1 Aq 1 . في الفترة 0 ، لذلك ، لدينا الإخراج A = Oq 1 و B's الإخراج = 0.

لنفترض الآن أن B تدخل السوق في الفترة 1. بالافتراض (x) ، كان يتوقع أن ينتج A ويبيع إنتاجه في الفترة السابقة ، أي Oq 1 و A سينتج فعلاً Oq 1 على افتراض أنه لن يكون هناك منافس كما في الفترة السابقة. الآن إذا كانت B تنتج في الفترة 1 ، فلا يمكنه بيع أي شيء بسعر أو أعلى ، Op 1 . بسعر أقل من Op 1 ، يمكن لـ B بيع الكمية المطلوبة بأكثر من Oq 1 .

على سبيل المثال ، عند سعر Op '، يمكن أن تتوقع B بيع q 1 q'. سيكون منحنى الطلب على الاحتكارات B هو القطاع AD 1 من منحنى الطلب السوقى DD 1 مع الأصل عند q 1 . سيكون منحنى الإيرادات الحدية هو MR 2 مع الأصل مرة أخرى في q 1 .

نظرًا لأنه سينتج ويبيع عند نقطة MR = MC (= 0) ، سيكون ناتجه q 1 . الناتج الإجمالي duopoly الآن سيكون Oq 2 . نظرًا لزيادة إجمالي الإنتاج ، سينخفض ​​السعر من Op 1 إلى Op 2 . في الفترة 1 ، لذلك ، يثبت الخطأ وباء الصحيح. في هذه الفترة ، سيكون لدينا إخراج A = Oq 1 و B's الإخراج = q t q 2 .

نظرًا لأن B قد دخل السوق الآن ، وبسبب دخوله ، زاد المعروض من المنتج وتراجع السعر ، فإن A ستراجع خطته الإنتاجية في الفترة المقبلة ، أي في الفترة 2. مرة أخرى ، بافتراض (x) ، A سوف نفترض أن B سوف تستمر في إنتاج مخرجات q 1 q 2 = q 2 q c ، وهو ما سيفعله B في الواقع على افتراض أن الناتج A هو Oq 1 .

لذلك ، في الفترة 2 ، سيتعين على A نقل منحنى الطلب الخاص به عن طريق تحويل DD 1 أفقيًا إلى اليسار إلى Dq 2 بمقدار q 2 q c (= q 1 q 2 ) أي أنه سيعيد تحديد وظيفة الطلب الخاصة به بطرح الكمية q 2 q c من كل كمية من الطلب الأصلي.

سيكون منحنى MR الجديد لـ A الآن MR 1 وسيتم تحديد كمية الخرج الجديدة عند MR = MC (= 0) وستكون Oq 3 = 1/3 Oq 2 . نظرًا لوجود B الآن في السوق ، قام A بتخفيض إنتاجه من Oq 1 إلى Oq 3 . في الفترة 2 ، لذلك ، ثبتت صحة A و B ثبت خطأ. في هذه الفترة ، سيكون لدينا إخراج A = Oq 3 = 1/2 Oq 2 و B's الإخراج = q 1 q 2 .

لذلك ، في الفترة 3 ، سوف B إعادة تقييم الوضع. سيكون منحنى الطلب الجديد هو الجزء ED 1 من منحنى طلب السوق ، DD 1 مع الأصل عند q 3 ومنحنى MR الآن سيكون MR 2 من نفس الأصل.

لذلك ، الآن سينتج المخرج q 3 q 4 ، والذي سيتم تحديده عند نقطة MR = MC (= 0). في هذه الفترة ، يثبت الخطأ A ويثبت B أنه صحيح. الآن ، سيكون لدينا إخراج A = Oq 3 = 1/2 Oq 2 و B's الإخراج = q 3 q 4 .

ستستمر هذه العملية في نموذج Cournot ، حيث يتناقص ناتج A ويزداد ناتج B إلى أن ينتج كل من A و B نفس الناتج بمقدار 1/3 q c . سيكون نموذج Cournot في حالة توازن عندما ينتج كل عامل احتكاري إخراج 1/3 q c ويكون إجمالي الناتج 2/3 q c حيث q q (أو Oq c ) هو الناتج التنافسي.

يمكننا الآن أن نتحقق بسهولة من أنه إذا كان كل صانع احتكاري ينتج ناتجًا بمقدار 1/3 Oq c ، فإن نموذج Cournot سيكون في حالة توازن. في الشكل 14.9 ، يكون منحنى طلب السوق هو DD 1 والإنتاج التنافسي هو Oq c ، كما كان في الشكل 14.9.

الآن إذا أنتج صانع الاحتكار A الناتج Oq 1 = 1/3 Oq c ، فسيكون منحنى الطلب من جانب المحتكر B هو القطاع AD 1 من منحنى طلب السوق DD 1 ومنحنى MR سيكون MR 2 ، وكلاهما أصله q 1 . لذلك ، سوف ينتج B خرج qjq 2 عند النقطة MR = MC (= 0). لكن لدينا q 1 q 2 = 1/2 q 1 q c = 1/2. 2/3 Oq c = 1/3 Oq c .

أي إذا أنتجت A 1/3 Oq c ، فإن ناتج تعظيم الربح لـ B سيكون أيضًا 1/3 Oq c . دعنا نرى الآن ، ما هو الناتج A إذا تم إعطاء الناتج B ليكون q 1 q 2 = q 2 q c = 1/3 Oq c .

إذا كانت B تنتج q 2 q c ، عندئذٍ ، A ستحول أفقيا منحنى الطلب DD 1 إلى اليسار بمقدار q 2 q c ، وسيصبح D2 = A و منحنى MR المقابل سيكون MR 1 ، وكلاهما الأصل في O. A سينتج الآن عند النقطة التي يكون فيها MR = MC (= 0) وهكذا يكون ناتجه 1 / 2Oq 2 = Oq 1 = 1 / 3Oq c .

لذلك ، إذا كان الناتج A يساوي 1/3 Oq c ، فسوف ينتج B خرجًا يساوي 1/3 Oq c ؛ وإذا كان الناتج B هو 1/3 Oq c ، فإن A ينتج عنه مخرجات تساوي 1/3 Oq c . هذا هو ، على طول الطريق المؤدي إلى التوازن ، عندما يصادف أحد الشركات الاحتكارية إنتاج ثلث الناتج التنافسي ، ثم تنتج الشركة الأخرى نفس الإنتاج ، وسيكون نموذج Cournot في حالة توازن.

معاً ، سينتج المحتكرون ثلثي الناتج التنافسي (Oq c ).

توازن سوق Cournot Duopoly - مثال هندسي بديل:

يمكننا الآن توضيح التوازن في سوق Cournot duopopop بمساعدة الشكل 14.10. في هذا الشكل ، فإن الخط الثابت AB هو منحنى طلب السوق (14.9) للمنتج.

هنا الزراعة العضوية = أ و OB = أ / ب. لنفترض الآن p * = 1 / 3a = OA = Op0 و q * = 2/3 a / b = 2/3 OB = Oq0 [eqn (14.21)]. لذلك ، الشكل 14.10 ، نقطة التوازن في سوق الاحتكارات هي E (p = Op 0 ، q = Oq 0 ).

في نموذج Cournot ، بافتراض (x) ، يحدد كل محتكر مبيعاته في أي فترة معينة ، بافتراض أن منافسه سوف يبقي إنتاجه دون تغيير عند الكمية التي أنتجها في الفترة السابقة.

على الرغم من هذا الافتراض الذي يثبت خطأه مرارًا وتكرارًا في الواقع ، إذا تمسك المحتكرون بهذا الافتراض ، في نهاية المطاف في فترة ما ، سيثبت افتراضهم أنه صحيح ، وسيصل كلاهما إلى نقطة التوازن. قد نوضح هذه العملية بمساعدة الشكل 14.11.

في الشكل 14.11 ، يتم قياس مخرجات A و B (q A و q B ) ، على التوالي ، على طول المحور الأفقي والرأسي. هنا ، يكون الخط المستقيم RS هو منحنى رد الفعل لـ duopolist A. من هذا المنحنى ، يمكننا أن نعرف ما يمكن أن يكون ناتج التوازن A عند أي ناتج معين من B. وبالمثل ، فإن الخط المستقيم MN هو منحنى رد الفعل من duopolist B. سوف يمنحنا هذا المنحنى توازن الاتزان B عند أي ناتج معين من A.

دعونا نلاحظ أن RS و MN هما منحنيا التفاعل المقابلان لوظائف التفاعل (14.14) و (14.17) ، على التوالي. بحكم التعريف ، يمثل كل من OR و ON المخرجات التنافسية في نموذج Cournot. هذا هو السبب في أن OR تساوي ON في الشكل 14.11. مرة أخرى ، يمثل كل من OS و OM الحل الاحتكاري للنموذج [14.2.2 (d)] ، وبالتالي فإن OM تساوي OS.

قد نوضح الآن كيف وعلى امتداد الطريق الذي ستقارب به الشركات الاحتكارية توازنها. مبدئيًا (في الفترة 0) ، لا يوجد B ، ويتصرف المحتكرون A مثل المحتكر. تعطينا وظيفة رد الفعل (RF) أنه عند q B = 0 ، q A = OS (أو Oa 0 ) - هذا هو الحل الاحتكاري.

دعونا الآن نفترض أنه في الفترة الأولى ، دخلت الشركة الاحتكارية B السوق وبدأت في إنتاج السلعة. لذلك أصبح السوق الآن احتكارية. في الفترة 1 ، ستقوم الشركة A بإنتاج q 1 = OS (أو Oa 0 ) كما في الفترة السابقة ، على افتراض أن ناتج B ، q B ، سيكون صفراً وأن B سينتج المخرج ، Ob 1 ، على افتراض أن A ستنتج الناتج في الفترة السابقة ، OS.

تركيبة المخرجات التي سيتم إنتاجها في الفترة 1 ، ستكون بالتالي K 1 (Oa 0 ، Ob 1 ). في هذه الفترة ، قد تثبت "أ" خطأ و "ب" سيثبت صوابه في افتراضاتهم حول خطة إنتاج بعضهم البعض.

في الفترة 2 ، سينقح المحتكرون "أ" خطة الإنتاج الخاصة به لأنه أثبت خطأها في الفترة 1. في هذه الفترة ، سوف ينتج "أ" Oa 2 على افتراض أن "ب" سينتج مخرجاته خلال الفترة الأولى ، أي أن Ob 1 و B سينتجان فعليًا Ob 1 (خطأ) بافتراض أن A ستنتج مخرجات الدورة الشهرية ، أي Oa 0 .

وبالتالي فإن توليفة المخرجات في الفترة 2 ستكون K 2 (Oa 2 ، Ob 1 ). في الفترة 2 ، أثبت "أ" أنه صحيح في افتراضه حول إخراج "ب" ، ولكن "ب" سيثبت خطأ في افتراضه حول "إخراج أ".

وبالمثل ، في الفترة 3 ، سيقوم B بمراجعة خطة الإنتاج الخاصة به لأنه ثبت خطأه في الفترة 2 في افتراضه حول إخراج A. في الفترة 3 ، سينتج عن B 3 ، بافتراض أن A ستنتج مخرجات الفترة السابقة ، Oa 2 ، و A ستنتج فعليًا هذا المخرج (Oa 2 ) ، بافتراض (خطأ) أن B سينتج مخرجات فترة 2 ، أي. ، Ob 1 ، مزيج الانتاج في الفترة 3 ، لذلك ، سيكون K 3 (Oa 2 ، Ob 3 ).

في هذه الفترة ، يثبت الخطأ A ويثبت B أنه صحيح.

ستستمر عملية التعديل التي أشرنا إليها أعلاه طالما أن أحد المحتجرين يثبت خطأه على الرغم من أن الآخر يثبت صوابه - سينتقل توليف المخرجات من النقطة K 1 على MN إلى K 2 على RS إلى K 3 على RS ، وهلم جرا.

كما نرى في الشكل 14.11 ، منذ دخول B إلى السوق ، انخفض إنتاج A في عملية الضبط وزاد إنتاج B ، وهكذا ، فإن مجموعة المخرجات سوف تنتقل بالتناوب أولاً من RF B إلى الغرب على RF لـ A (كما من K 1 إلى K 2 ) ثم من RF's A إلى الشمال على RF's B (كما هو الحال من K 2 إلى K 3 ) ثم مرة أخرى إلى الغرب ، وهكذا ، حتى تصبح مجموعة الإخراج E (q * A ، q * B ) عند نقطة تقاطع منحني التفاعل ، حيث يتم الحصول على كمية الخرج لكل إحتكاري لتكون q * 1 = q * 2 = 1/3 a / b [مكافئ. (14.20)].

نظرًا لأن E تقع على RFs لكلا الاحتكاريين ، بمجرد أن ينتج واحد منهم q * A = q * B = 1/3 a / b ، فإن الآخر ينتج أيضًا q * A = q * B ، أي إذا أنتجت A q * A ، B ستنتج q * B وإذا كانت B تنتج q * B ، A ستنتج q * A ، وبالتالي سوف تستمر.

لذلك ، E هي نقطة التوازن لنموذج Cournot للاحتكارية ، حيث سينتج كل إحتكاري:

تعليقات نقدية على نموذج Cournot :

دعونا نلاحظ أن نموذج Cournot يمكن تعميمه على نموذج احتكار القلة مع أكثر من شركتين. قد يمتد النموذج أيضًا إلى التكلفة الحدية الإيجابية.

فلنكن عدد احتكار القلة (n> 2) و q c الناتج التنافسي و p c السعر التنافسي و p m سعر الاحتكار. ثم الناتج الإجمالي في توازن Cournot تحت احتكار القلة سيكون nq c / n +1. سيكون إنتاج كل شركة q c / (n + 1) ، وسيكون السعر في سوق احتكار القلة 2p m / n + 1 + np c / n + 1.

في نموذج الاحتكار الثنائي ، كان لدينا n = 2 و p c = 0. وأيضًا ، نظرًا لأن عدد الشركات (n) يميل إلى ما لا نهاية ويميل النموذج إلى أن يصبح نموذجًا سوقيًا تنافسيًا ، يميل n / n + 1 إلى 1. وبالتالي ، فإن إجمالي الإنتاج ، كما هو متوقع ، يميل إلى أن يصبح q c ، والإنتاج التنافسي ، والسعر يميل إلى أن يصبح p c .

ثانياً ، في نموذج Cournot ، يعتقد كل محتكر أن المنافس لن يغير من إنتاجه. وانتقد هذا عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف برتراند. يجادل برتراند بأن الافتراض الأكثر واقعية كان يتمثل في أن كل محتكر يعتقد أن منافسه لن يغير سعره.

إلى جانب هذا الافتراض ، يقدم Bertrand افتراضًا واحدًا آخر ينص على أن كل محتكر لديه قدرة كافية لإرضاء السوق بأكمله. في هذا النموذج ، ستبدأ A أولاً بالسعر الاحتكاري ؛ B ثم يدخل السوق ، مما يقلل السعر إلى حد ما ، ويلتقط السوق بأكمله.

ثم يخفض السعر أدنى المستوى B ويستحوذ على السوق ، وستستمر العملية. أخيرًا ، تنتهي حرب الأسعار عندما ينخفض ​​السعر إلى المستوى p = MC = 0 ، ويصبح إجمالي الإنتاج المنتج مساويًا للإنتاج التنافسي.

Chamberlin also changes Cournot's assumption that each duopolist naively believes that his rival's output would remain unchanged. Instead, he simply assumes that the duopolists are aware of their interdependence.

He argues like this:

A starts with output Oq 1 and price Op 1 in Fig. 14.8, and B produces q 1 q 2, as was the case with Cournot. A, however, then realizes that B will change his behaviour if A changes his output, and that the maximum joint profit occurs at the output level Oq 1 .

A, therefore, cuts his output level to 1/2 Oq 1 leaving B to produce 1/2 Oq 1 = q 1 q 2 . A stable solution is thus obtained, which is the monopoly solution. Here, there is no explicit collusion. There is only some understanding of mutual benefit. In the Cournot model, however, there is no scope for price competition since here the duopolists are price-takers.

Third, in the Cournot model, a duopolist is not able to make any guess about the rival's reactions to a change in his own output. He, therefore, cannot make any conjecture about his rival's behaviour, ie, he does not behave conjecturally.

He rather behaves autonomously for he assumes that his rival's output is given autonomously. Of course, this autonomous behaviour takes both of them to the intersection point of their reaction functions where they would be in equilibrium, ie, ultimately they would prove right, although for wrong reasons.

Lastly, we should note that although the duopolists in the Cournot model are able to maximise their individual profits subject to the given assumptions, their joint profit and, therefore, their individual profits (obtained after the joint profit is appropriately distributed), might have been larger if they acted collusively and formed a multi-plant monopoly. This we can prove very simply in the following way.

If the market demand curve for the product is

The Cournot Solution—Non-Zero Costs :

The basic behaviour assumption of the Cournot model is that each duopolist maximises his profit on the assumption that the quantity produced by his rival does not depend on his own quantity decision.

That is, duopolist A maximises π A wrt q A, treating q B as a constant, and duopolist B maximises k b wrt q B, treating q A as a constant. We may now obtain the Cournot solution for the market model given by equations (14.1)—(14.4).

Setting the appropriate partial derivatives of the n equations in (14.3) equal to zero, we obtain

That is, the duopolist with the greater output will have the smaller MR, and the MRs of the duopolists will be equal if they produce and sell the same quantity of output. The duopolistic market will be in equilibrium if the values of q A and q B are such that each duopolist maximises his profit given the output of the other, and neither desires to alter his output.

The equilibrium solution can be obtained if we solve the FOCs (14.28) for q A and q B, provided the SOCs (14.29) are satisfied. However, the Cournot solution may be better represented and better explained if we proceed through the reaction functions.

Reaction functions, by definition, express the output of each duopolist as a function of his rival's output. As such, the reaction function of duopolist A would be obtained if we solve the first equation of (14.28) for q A in terms of q B and the reaction function of duopolist B would be obtained if we solve the second equation of (14.28) for q B in terms of q A . These two functions may be written as

Duopolist A's reaction function gives the value of q A for any specified value of q B, which maximises π A . Similarly, duopolist B's reaction function gives the value of q B for any specified value of q A, which maximises π B . The equilibrium solution of the Cournot model, as we already know, is obtained at the point of intersection of the two reaction functions. This equilibrium solution is a (q A, q B ) combination.

Let us denote this combination by E (q A, q B ) in Fig. 14.12. Since this combination lies on the reaction function of duopolist A, A sells q* A, given q B = q* B, and maximises his profit (π A ). Again, since the combination E lies on the reaction function of duopolist B, B sells q* B, given q A =q* A, and maximises his profit (π B ). Therefore, when they arrive at point E, neither of them would be willing to alter his output.

Let us now suppose that the market demand function for the product and the cost functions of the duopolists are:

Comparison between the Cournot Solution and the Quasi-Competitive Solution:

We may now compare the Cournot solution (14.37) with the quasi-competitive solution by using the example given in (14.5). The example gives us: a= 100, b = 0.5, d = 5, e = 0, g = 0and h = 0.5. Putting these values in (14.36) we obtain the Cournot reaction functions to be

If we now compare the Cournot solution (14.40) with the quasi-competitive solution (14.8), we find that the Cournot duopolists produce a smaller total output, sell at a higher price and earn larger profits.

The Output Leadership Model/The Stackelberg Model:

In this model, we shall retain the assumptions (i) to (ix) of the Cournot model, and the assumption (x) here would be:

(a) The duopolist A conjectures that B will accept A's output as autonomously given and

(b) B will actually behave in this way.

That is, in this model, A is the output-leader and B the output-follower.

A is the leader because, he will choose the output which he will produce in the light of his correct conjectures about B's reactions, and B is the follower because he will accept any output that A might produce as autonomously given.

Given the assumptions (i) to (ix), the profit-indifference curves of the duopolists would be like those of the Cournot model. Some of these iso-profit curves have been drawn in Fig. 14.13. Assumption (x) implies that A knows B's Cournot reaction function, for as we shall see, he would have to maximise profit subject to the constraint that he remains on B's reaction function which is given by the line MN in Fig. 14.13.

This line, shows what would be B's output at each given level of A's output.

The points of intersection (and tangency) between this line and A's profit indifference curves, viz., the points like L 1, I, and L 2, give us the alternative levels of profit that the duopolist A may earn at different levels of his output in combination with B's output.

For example, at A's output = OA 1, B's output would be L 1 A 1 and A would be on his iso-profit curve IP 1 . Similarly, at A's output of OA 2 and OA 3, A would be on the iso-profit curves IP 2 and IP 3 .

It is easily seen in Fig. 14.13 that the output leader, A, would select that point on the follower B's reaction function where this reaction function touches one of his (A's) iso-profit curves, for, at this point here the point L 2, the output combination of A and B, viz., OA 3 of A's output and L 2 A 3 or OB 3 of B's output, would take A to the lowest possible iso-profit curve or the highest possible level of profit.

It is clear from above that in this leadership model, the leader has no use of his own reaction curve, for he simply chooses that point on his rival's reaction function where he achieves the maximum possible profit. There is, therefore, no path along which the leadership equilibrium is reached—rather the equilibrium point like L 2 may be pointed out instantaneously in Fig. 14.13.

We may now compare the equilibrium in this leadership model with that in the Cournot model. In Fig. 14.13, the dotted line RS is the Cournot reaction function of duopolist A, ie, his output production would react along this line if he accepts the output of B as autonomously given. The point of intersection I of the Cournot reaction functions of the duopolists gives us the equilibrium in the Cournot model.

If we compare now the point I with the point L 2, we find that at I, the duopolist A lies on a higher iso-profit curve, ie, on a lower profit level than at point L 2, and B lies on a lower iso-profit curve, ie, on a higher profit level than at L 2 .

In other words, the output leader A would prefer the leadership equilibrium to Cournot equilibrium, and the output follower B would prefer the Cournot equilibrium to the leadership equilibrium.

Now, if the leadership equilibrium as obtained above is to be maintained over a succession of periods, then the assumption (x) of the model would have to hold over these periods. Not only this, but also A would have to accept B's present pattern of reaction as given by his reaction function MN, and B must remain ignorant of the fact that A knows his reaction function.

We may also note that if the duopolists are not satisfied with the present position, then each of them may seek to alter it to his advantage. For example, A may try to convince B, by threat or rumour, to accept a reaction curve that lies below the present one, viz., MN. Because, he may then move on to a still lower iso-profit curve giving him a higher level of profit.

On the other hand, if B suspects that A knows about his autonomous behaviour, he would try to convince A that he will react along a curve that lies above MN. If he succeeds in doing this, A would move on to a point of tangency on a higher iso-profit curve giving him a lower level of profit, and B would be able to move on to a lower iso-profit curve, giving him a higher level of profit.

Mathematical Presentation of the Output Leadership (Stackelberg) Model :

The follower (firm B) in the output leadership model wants to maximise profit. Let us suppose that the total revenue (R) function of the follower is

It follows from the properties of iso-profit curves that the profit of firm B will increase as it moves to the iso-profit curves further to the left (ie, nearer the q B -axis). That is why, at any particular q A (output of firm A), firm B will produce that output (q B ) at which the ordinate at q A would become a tangent to an iso-profit curve of B.

Therefore, at different values of q A, we would obtain the corresponding values of q B that would make the profit of firm B the maximum. If we join these (q A, q B ) combinations by a curve, we would obtain the required reaction curve of firm B.

Since the demand curve for the product has been assumed to be linear, this reaction curve also would be linear like the line MN in Fig. 14.13. We have already obtained this reaction curve. It is given by equation (14.17).

This equation has been obtained by putting MR B equal to zero (since MC B has been assumed to be zero):

As we have already noted, the reaction curve of firm B, as given by eqn. (14.17), gives us the profit maximising output, q B, of the follower (firm B) as a function of the given (and optimum) output, q A, of the leader (firm A).

We have analysed above how the follower will choose his output given the choice of output of the leader. Let us now turn to the leader's (firm A's) profit-maximisation problem. By assumption (x) of the model, the leader is aware that his actions influence the output choice of the follower.

This relationship is summarised by the reaction function, q B = f B (q A ). Therefore, while determining his optimal output, he would recognise the influence that he would exert on the follower.

The profit-maximisation problem of the leader may be analysed, therefore, in the following way. The TR function of firm A is

Conjectural Variation and Stackelberg's Analysis:

When there are only two sellers (firms) in the market for a product, we may assume that the profit of each seller is a function of the output levels of both:

An interesting example of conjectural variation is contained in Stackelberg's analysis of leadership and followership. A follower obeys his reaction function given in (14.32) and adjusts his output level to maximise his profit, given the quantity decision of his rival, whom he accepts as a leader.

A leader does not obey his own reaction function. He assumes that his rival acts as a follower, and maximises his profit, given his rival's reaction function. If the duopolist A desires to play the role of a leader, he assumes that B's reaction function is valid and substitutes this relation into his profit function

π A = h A [q A . Ѱ B (q A )] (14.61)

A's profit now is a function of q A alone, and can be maximised wrt this single variable (q A ). Similarly, if the duopolist B wants to play the role of a leader, his profit function would be

π B = h B [q B, Ѱ A (q B )] (14.62)

and he would have to maximise his profit wrt the variable, q B .

In this model, each duopolist determines his maximum profit level from both leadership and followership and desires to play the role which yields the larger maximum.

Four cases are possible here:

(i) A desires to be a leader, and B a follower;

(ii) B desires to be a leader, and A a follower;

(iii) Both desire to be followers; و

(iv) Both desire to be leaders.

As we have seen, case (i) results in a determinate equilibrium. Case (ii) would also result in a determinate equilibrium, since this case is the same as (i) with the two duopolists reversing their roles. Case (iii) also would have a determinate solution which is nothing but a Cournot solution under Stackelberg assumptions, since, here each seller acts autonomously, knowing that the other will also act autonomously.

Lastly, in case (iv), both the duopolists aspire to be the leader. Here each assumes that he need not obey his reaction function, and rival's behaviour is governed by his (the rival's) reaction function. Thus, here neither of the reaction functions is obeyed, and we encounter a disequilibrium which is known as the Stackelberg disequilibrium.

Comparison between Stackelberg Solution and the Quasi-Competitive Solution :

In order to compare the Stackelberg solution with the quasi-competitive solution, let us now go back to the example given by (14.5). We have already obtained the reaction functions of the two sellers to be

Here, as compared with the quasi-competitive solution, the Stackelberg duopolists produce a smaller output (120 5); and the profits of both the sellers are higher (3.266.67, 868.28 > 0, 12.5), and so their combined profit is also higher,

(ii) When B is the leader and A the follower, the Stackelberg solution is

Here also the Stackelberg duopolists produce a smaller output (112.5 5); and the profits of both the sellers are higher (3, 172.66, 918.75 > 0, 12.5), and so their combined profit is higher.

The Stackelberg Disequilibrium :

In this model, we shall suppose that both the duopolists are striving to be the output leader. We shall continue to make assumptions (i) to (ix) of the Cournot model. Our assumption (x), in this case, would be that each duopolist assumes that his rival would accept his output as given and constant, ie, the rival would behave autonomously. In other words, each duopolist conjectures that his rival is an output-follower and he is an output-leader.

We may illustrate the consequences of these assumptions with the help of Fig. 14.14.

Let us suppose that initially A has been a monopolist and B suddenly joins the industry to compete with him. As per our assumption (x), A thinks that B would behave autonomously wrt output, and he would react along his reaction function MN, and B also thinks that A would behave autonomously, and he (A) would react along his reaction function RS.

Under the circumstances, A would immediately accept the point L a on the line MN as his profit-maximising point, and B would determine his profit-maximising position at the point L b on the line RS, and, therefore, in period 1, A would produce the quantity OA r of the product expecting B to produce OB, and B would produce OB r of output assuming that A would produce OA 1 .

That is, the combination of output that would be produced by the two firms in period 1 would be given by the point G (OA r, OB r ) in Fig. 14.14. But G lies on a higher iso-profit curve in A's map than the point L a and it lies also on a higher iso-profit curve in B's map than the point L b, and so, both the duopolists would earn less than expected amount of profit in period 1.

Therefore, it would not be difficult for each of them to understand that his rival is not behaving as expected, and so, in the subsequent periods, each would seek some more appropriate conjecture about his rival's reactions.

Each of them may go on experimenting and observing how his rival's output plan reacts to changes in his own plan, or, each of them may desperately force his rival to react along some reaction function that suits him.

In the above analysis, we have seen that when each duopolist wants to become the leader, the hypothesis that each makes about his rival's behaviour will be proved wrong.

However, the model helps us to understand what might follow from the given assumptions, and the assumptions, especially assumption (x), is not unrealistic. The model is also useful as it helps us to understand how and why the oligopolists may be driven to bargaining or collusion.

 

ترك تعليقك