دالة إنتاج متجانسة | اقتصاديات

يقال أن الوظيفة تكون متجانسة من الدرجة n إذا كان ضرب جميع المتغيرات المستقلة بنفس الثابت ، على سبيل المثال ، in ، يؤدي إلى ضرب المتغير التابع بمقدار λn. وبالتالي ، فإن وظيفة

Y = X2 + Z2

غير متجانسة من الدرجة 2 منذ ذلك الحين

(λX) 2 + (λZ) 2 = λ2 (X2 + Y2) = λ2Y

يقال إن دالة متجانسة من الدرجة 1 تكون متجانسة خطيًا ، أو لعرض تجانس خطي. تعرض دالة الإنتاج المتجانسة من الدرجة 1 عوائد ثابتة للقياس حيث أن مضاعفة جميع المدخلات ستؤدي إلى مضاعفة الإنتاج بدقة. لذلك ، يعرض هذا النوع من وظائف الإنتاج عوائد ثابتة للقياس على نطاق الإنتاج بأكمله. بشكل عام ، إذا كانت دالة الإنتاج Q = f (K، L) متجانسة خطيًا ، إذن

F (،K، λL) = λf (K، L) = λQ

لأي مزيج من العمالة ورأس المال ولجميع قيم λ. إذا كانت القيمة 3 تساوي 3 ، فثلاثة أضعاف المدخلات ستؤدي إلى مضاعفة الناتج ثلاث مرات.

هناك العديد من الأمثلة على الوظائف المتجانسة خطيًا.

مثالان على ذلك هما:

Q = aK + bL

و Q = A Kα L1-α 0 <α <1

يُعرف المثال الثاني بوظيفة الإنتاج Cobb-Douglas. لنرى أنها متجانسة بالفعل من الدرجة الأولى ، لنفترض أن الشركة تنتج في البداية Q 0 بمدخلات K 0 و L 0 ثم تضاعف توظيفها لرأس المال والعمالة.

الناتج الناتج يساوي:

هذا يدل على أن وظيفة الإنتاج Cobb-Douglas متجانسة خطيًا.

الخصائص:

هناك العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام لوظائف الإنتاج المتجانسة خطيًا. أولاً ، يمكننا التعبير عن الوظيفة ، Q = f (K، L) في أي من الشكلين البديلين.

(1) Q = Kg (L / K) أو ،

(2) س = Lh (K / L)

غالبًا ما يتم استخدام هذه الخاصية لإظهار أن المنتجات الهامشية للعمالة ورأس المال هي وظائف نسبة رأس المال إلى العمل فقط.

على وجه الخصوص ، المنتجات الهامشية هي كما يلي:

MP k = g (L / K) - (L / K) g '(L / K)

و MP L = g '(L / K)

حيث تشير g '(L، K) إلى مشتق g (L / K). تكمن أهمية ذلك في أن المنتجات الهامشية للمدخلات لا تتغير مع زيادات متناسبة في كل من المدخلات. نظرًا لأن المعدل الهامشي للإحلال الفني يساوي نسبة المنتجات الهامشية ، فإن هذا يعني أن MRTS لا تتغير على طول شعاع من خلال الأصل ، والتي لها نسبة ثابتة من رأس المال إلى العمل. نظرًا لأن MRTS هو ميل المتساوي ، فإن وظيفة الإنتاج المتجانسة خطيًا تولد تماثلات متساوية على طول الشعاع خلال الأصل.

مسار التوسع:

إذا استخدمت إحدى الشركات وظيفة إنتاج متجانسة خطيًا ، فسيكون مسار التوسيع خطًا مستقيمًا. للتحقق من هذه النقطة ، دعونا نبدأ من النقطة الأولى لتقليل التكلفة في الشكل 12 ، مع إخراج 10 وحدات وتوظيف (استخدام) من 10 وحدات من العمالة و 5 وحدات من رأس المال. الآن ، لنفترض أن الشركة تريد زيادة إنتاجها إلى 15 وحدة. نظرًا لأن أسعار المدخلات لا تتغير ، يجب أن يكون ميل المنحنى الجديد مساويًا لميل المنحدر الأصلي.

ولكن ميل المنحنى هو MRTS ، وهو ثابت على طول شعاع من الأصل للحصول على وظيفة إنتاج متجانسة خطيًا. وبالتالي ، فإن تكلفة تقليل نسبة رأس المال إلى العمل ستظل ثابتة. نظرًا لزيادة الإنتاج بنسبة 50٪ ، ستزداد المدخلات أيضًا بنسبة 50٪ من 10 وحدات من العمالة إلى 15 ومن 5 وحدات لرأس المال إلى 7.5. وبالتالي ، فإن مسار التوسع هو خط مستقيم.

قد تأخذ وظائف الإنتاج العديد من الأشكال المحددة. عادة ما يعمل الاقتصاديون والباحثون مع وظيفة الإنتاج المتجانسة. يقال إن الدالة تكون متجانسة من الدرجة n إذا كان ضرب كل المتغيرات المستقلة بنفس الثابت ، على سبيل المثال ، results ، يؤدي إلى ضرب المتغير المستقل بـ λn. وبالتالي ، فإن وظيفة:

س = K2 + L2

غير متجانسة من الدرجة 2 منذ ذلك الحين

(λK) 2 + (λ L) 2 = λ2 (K2 + L2) = λ2Q

يقال إن دالة متجانسة من الدرجة 1 تكون متجانسة خطيًا ، أو لعرض تجانس خطي. تعرض دالة الإنتاج المتجانسة من الدرجة الأولى عوائد ثابتة للقياس حيث أن مضاعفة جميع المدخلات ستؤدي إلى مضاعفة الإنتاج.

تكون دالة الإنتاج متجانسة من الدرجة n إذا كانت ضرب المدخلات ببعض الثابت ، على سبيل المثال ، α ، فإن الناتج الناتج هو مضاعف الناتج الأصلي a2.

وهذا هو ، لوظيفة الإنتاج:

س = و (ك ، ل)

ثم إذا وفقط إذا

Q = f (αK ، αL) = αnf (K، L)

هي وظيفة متجانسة. يشير الأس ، n ، إلى درجة التجانس. إذا كانت n = 1 ، يقال أن وظيفة الإنتاج متجانسة من الدرجة الأولى أو متجانسة خطيًا (هذا لا يعني أن المعادلة خطية). تعتبر وظيفة الإنتاج المتجانسة خطيًا ذات أهمية لأنها تعرض CRS.

وينظر إلى هذا بسهولة منذ التعبير αn. f (K، L) عندما تنقص n = 1 إلى α. (K ، L) بحيث مضاعفة المدخلات من قبل ثابت ببساطة زيادة الانتاج بنفس النسبة. من الأمثلة على وظائف الإنتاج المتجانسة خطيًا وظيفة الإنتاج Cobb-Douglas والمرونة الثابتة لوظيفة الإنتاج البديلة (CES). إذا كانت n> 1 ، فسوف تعرض وظيفة الإنتاج مصلحة الضرائب. إذا كانت n <1 DRS هي السائدة.

وظيفة إنتاج كوب دوغلاس:

لقد درس الاقتصاديون في أوقات مختلفة العديد من وظائف الإنتاج الفعلية ووظيفة الإنتاج الشهيرة هي وظيفة الإنتاج Cobb-Douglas. مثل هذه الوظيفة هي معادلة توضح العلاقة بين إدخال عاملين (K و L) في عملية الإنتاج ، ومستوى الإنتاج (Q) ، حيث تكون مرونة الإحلال بين عاملين مساوية للعامل.

كما هو مطبق على الإنتاج التصنيعي ، فإن وظيفة الإنتاج هذه ، على نحو تقريبي ، تنص على أن العمالة تساهم بنحو ثلاثة أرباع الزيادات في إنتاج الصناعات التحويلية ورأس المال المتبقي في الربع.

لنفترض أن وظيفة الإنتاج من النوع التالي:

س = AKα Lβ

حيث Q هي الإخراج ، A ثابت ، K هو مدخلات رأس المال ، L هو مدخلات العمل و (3 هي الأسس لوظيفة الإنتاج. وهذا يعرف باسم وظيفة الإنتاج Cobb-Douglas. لها خاصية مهمة.

يشير مجموع الأسين إلى عوائد المقياس:

(1) إذا كانت α + β> 1 ، فإن وظيفة الإنتاج تظهر عوائد متزايدة للقياس ،

(2) إذا كانت α + β = 1 ، فهناك عوائد ثابتة للقياس ،

(3) أخيرًا ، إذا كانت α + β <1 ، فهناك عوائد متناقصة للقياس.

لنفترض أن الإنتاج من النوع التالي:

Q = AK0. + 75 L0.25

يُظهر العائد الثابت للقياس لأن α = 0.75 و β = 0.25 و α + β = 1.

 

ترك تعليقك